概念
正則曲線是一類重要的曲線。它是處處存在惟一切線的曲線。設曲線的參數方程為r=r(t)={x(t)，y(t)，z(t)}，若在t=t時，其切向量r′(t)≠0，則稱t=t處曲線上的點為正則點；若曲線的參數方程中的坐標函式都是t的連續可微函式，且曲線上的點都是正則點(即r′(t)≠0)，則稱此曲線為正則曲線，稱此參數方程為正則參數方程，稱t為此曲線的一個正則參數。
充要條件
什麼是曲線？按照經典的定義，從(a,b)到R3中的連續映射就是一條曲線，這相當於是說：
(I)R3中的曲線是一個一維空間的連續像，因此是一維的；
(II)R3中的曲線可以通過直線做各種扭曲得到；
(III)說參數的某個值，就是說曲線上的一個點，但是反過來不一定，因為我們可以考慮自交的曲線。
微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學科，為了能夠套用微積分的知識，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續曲線，因為連續不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。但是可微曲線也是不太好的，因為可能存在某些曲線，在某點切線的方向不是確定的，這就使得我們無法從切線開始入手，這就需要我們來研究導數處處不為零的這一類曲線，我們稱它們為正則曲線。
正則曲線才是經典曲線論的主要研究對象。
曲線
微分幾何學研究的主要對象之一。直觀上，曲線可看作空間質點運動的軌跡。數學中的嚴格定義有：區間[a，b]到E中的映射r：[a，b]→E。有時也把這種映射的象稱為曲線。人類很早就有曲線的概念，例如圓周、弧等。較早將曲線用於數學問題研究的是公元前300年歐幾里得在《幾何原本》中給出的線的定義：線只有長度而沒有寬度，一線的兩端是點。這雖然是對於線的概念的最早說明，但“長度”、“寬度”等都還沒有定義，實質上並沒有給出線的完全定義。一般來說，線分為直線與曲線，不是直線的線被稱為曲線。但在現代數學中，曲線有包含直線的意義。歐幾里得之後，曲線作為幾何中自明的概念一直在使用著。在古希臘時代，大部分曲線都被看作是靜態的，例如阿波羅尼奧斯論述的圓錐曲線，只有少數曲線用運動來定義，例如阿基米德螺線。公元4世紀帕波斯首次對曲線進行分類，稱從直線和圓作出的曲線是平面曲線;圓錐曲線是立體曲線;割圓線、蚌線、蔓葉線和螺線等特殊曲線為第三類曲線。第三類曲線被希臘人稱為機械曲線，因為需要用某些特殊機械來畫它們。到17世紀，法國數學家笛卡兒又提出幾何曲線的概念，指那些可用一個唯一的含x和y的有限次代數方程來表示的曲線，並進一步按方程的次數將幾何曲線進行了分類。義大利科學家伽利略將拋物線看作是物體向上斜拋時運動的軌跡，這種思想被數學家接受，逐漸將曲線看作是動點的軌跡。17世紀還開始了求曲線長度的研究，1668年英國數學家格雷戈里在《幾何的通用部分》中給出計算曲線長度的方法。此外，1748年歐拉對所研究的曲線引進參數表示，成為近代向量表示法的基礎。
19世紀末隨著數學各分支基礎的嚴密化，曲線概念的嚴密化也引起人們的重視。1887年法國數學家若爾當在《分析教程》中給出曲線的定義：由連續函式x=f(t)，y=g(t)(to≤t≤t)表示的點集，並要求對每一個(x，y)只存在一個t，這種曲線現在被稱為若爾當曲線。1890年義大利數學家皮亞諾發現符合若爾當定義的曲線能填滿一個正方形，1891年希爾伯特將他的例子簡化，作出了從單位線段到正方形上的連續映射的另一個例子，成為數學分析中著名的反例。這種情形反映出若爾當曲線定義的缺陷。20世紀20年代數學家重新定義曲線，門格(1926)等人利用拓撲學工具定義曲線為一維連續流形，排除了填滿空間的曲線，並反映了曲線在同胚下不變這一性質。對曲線的研究是許多數學分支的基本內容，由此建立和發展了相關學科，促進了數學的發展。
微分幾何
幾何學的一門分支。主要以數學分析、微分方程為工具，研究光滑曲線，曲面在它一點鄰域的性質。例如研究一般曲線和一般曲面在一點的曲率就是微分幾何中的重要內容。近代由於對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何與黎曼幾何學、拓撲學、變分學、李群等有了密切的聯繫。上述各學科與微分幾何的互相滲透已成為現代數學的中心問題之一。微分幾何在力學和 一些工程問題(如彈性薄殼結構、齒論嚙合理論等方面)中有廣泛的套用。
微分幾何是研究微分流形及其對全體微分同胚之群的不變數的幾何學，將平面曲線與撓曲線的古典研究放在微分幾何這一範圍內時，切線與密切面的概念就是不變數。當在平面或空間上給出一種歐幾里得結構時，人們便能夠定義度量不變數(長度，法線，曲率，撓率，弗萊納標形，等等. )這最後一些概念的推廣導致黎曼流形的研究。這是當代研究成果較多的分支之一。
