數學典籍
《九章算術》的“少廣”章的廿三及廿四兩問中有所謂“開立圓術”，“立圓”的意是“球體”，古稱“丸”，而“開立圓術”即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為：“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？”
開立圓術曰：“置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。”
從中可知，在《九章算術》內由球體體積求球體直徑，是把球體體積先乘16再除以9，然後再把得數開立方根求出約得14300尺，約為4.76千米，換言之
牟合方蓋
牟合方蓋相關研究
當然這個結果對數學家而言是極之不滿的，其中為《九章算術》作注的古代中國數學家劉徽便對這公式有所懷疑：
“以周三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷多耳。”
方即是說，用π=3來計算圓面積時，則較實際面積要少；若按π=4的比率來計算球和外切直圓柱的體積時，則球的體積又較實際多了一些。然而可以互相通補，但按9：16的比率來計算球和外切立方體體積時，則球的體積較實際多一些。因此，劉徽創造了一個獨特的立體幾何圖形，而希望用這個圖形以求出球體體積公式，稱之為“牟合方蓋”。
牟合方蓋
是當一正立方體用圓柱從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對“牟合方蓋”有以下的描述：
“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。”
劉徽理論
其實劉徽是希望構作一個立體圖形，它的每一個橫切面皆是正方形，而且會外接於球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個圖形就是“牟合方蓋”，因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用“牟合方蓋”來證實《九章算術》的公式有錯誤。當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式，因為他知道“牟合方蓋”的體積跟內接球體體積的比為4：π，只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可，可惜，劉徽始終不能解決，他只可以指出解決方法是計算出“外棋”的體積，但由於“外棋”的形狀複雜，所以沒有成功，無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：
“觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。”
而賢能之士要在劉徽後二百多年才出現，便是中國偉大數學家袓沖之及他的兒子祖暅，他們承襲了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”徹底地解決了球體體積公式的問題。
重要發現
是到三個“外棋”的計算方法。他們先考慮一個由八個邊長為r的正立方體組成的大正立方體，然後用製作“牟合方蓋”的方法把這大正立方體分割，再取其中一個小正立方體部分作分析，分割的結果將跟右圖所示的相同，白色部分稱為“小牟合方蓋”，它的體積為“牟合方蓋”的八分之一，而紫紅、黃和青色的部分便是三個“外棋”。
祖沖之父子考慮這個小立方體的橫切面。設由小立方體的底至橫切面高度為h，三個“外?”的橫切面面積的總和為S及小牟合方蓋的橫切面邊長為a，因此根據“勾股定理”有
a²=r²-h²
另外，因為
S=r²-a²
所以
S=r²-(r²-h²)=h²
於所有的h來說，這個結果也是不變的。祖氏父子便由此出發，他們取一個底方每邊之長和高都等於r的方錐，倒過來立著，與三個“外棋”的體積的和進行比較。設由方錐頂點至方錐截面的高度為h，不難發現對於任何的h，方錐截面面積也必為h²。換句話說，雖然方錐跟三個“外棋”的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了，所以祖氏云：
“緣冪勢既同，則積不容異。”
所以
外棋體積之和=方錐體積=小立方體體積/3=r³/3
即
小牟合方蓋體積= 2r³/3
牟合方蓋體積=16r³/3
因此
球體體積=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3
這條公式也就是正式的球體體積公式。
相關備註
雖然本球體體積公式的出現比歐洲阿基米德的公式晚些，但由於方法以至推導都是由劉徽及祖氏父子自行創出，是一項傑出的成就。當中使用的“冪勢既同，則積不容異。”，即“等高處截面面積相等，則二立體的體積相等。”的原理。現在一般認為是由義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）首先引用，稱為卡瓦列利原理（Principle of Cavalieri），但事實上祖氏父子比他早一千年就發現並使用了這個原理，故又稱“祖暅原理”。
