冪平均值不等式

一般形式

設ai>0(1≤i≤n),且α>β，
則有：（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立
若且唯若a1=a2=a3=……=an 時取等號。

加權形式

設ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，
則有：（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
若且唯若a1=a2=a3=……=an 時取等號。

證明簡述

第一，琴生不等式(即上下凸性，或是說二次求導得)
第二，取輔助函式F(X)=X^a　
這個證明很多本競賽書上都有，比如奧賽經典高二的那本,但是沒有證明過程.
據我所知幾年以前的競賽書上都只介紹結論,但不給出證明.原因是什麼呢?因為證明要用到二階導數來判斷冪函式的凸性,還要用到琴生不等式.而老教材中導數還沒有進入教學內容.不證明冪平均不等式是不得已的事.