簡介
柯西—施瓦茨不等式
施瓦茨柯西-施瓦茨不等式是數學分析中經常要用到的一個不等式，在競賽數學和
高等數學中也有廣泛的套用，下面介紹它的三種證明方法，從而加深對該不等式的理解，利於教學。定理（柯西-施瓦茨不等式）：若a1,a2，…，an和b1,b2，…，bn是任意實數，則有（nk=1∑akbk)2≤（nk=1∑ak2）（k=n1∑bk2）此外，如果有某個ai≠0，則上式中的等號若且唯若存在一個實數x使得對於每一個k=1,2，…，n都有akx+bk=0時成立。證明1平方和絕不可能是負數，故對每一個實數x都有nk=1∑（akx+bk)2≥0其中，等號若且唯若每一項都等於0時成立。
數學上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式，例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和機率論的方差和協方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。
柯西—施瓦茨不等式說，若x和y是實或復內積空間的元素，那么
柯西—施瓦茨不等式等式成立若且唯若x和y是線性相關。
柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函式。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的寫法表示：
柯西—施瓦茨不等式證明
實內積空間的情形：
柯西—施瓦茨不等式注意到y = 0時不等式顯然成立，所以可假設
非零。對任意
，可知
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式現在取值
，代入後得到
柯西—施瓦茨不等式因此有
柯西—施瓦茨不等式復內積空間的情形
柯西—施瓦茨不等式證明類上。對任意
，可知
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式柯西—施瓦茨不等式現在取值
，代入後得到
柯西—施瓦茨不等式因此有
柯西—施瓦茨不等式特例
對歐幾里得空間Rn，有
柯西—施瓦茨不等式對平方可積的復值函式，有
柯西—施瓦茨不等式這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至等式
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