切比雪不等式

a1b1+a2b2+…+an a1b1+a2b2+…+an a1b1+a2b2+…+an

概述

若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,則

a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,則

證明

由排序不等式有：

a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn³a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn³a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn³a1bn+a2b1+…+anbn-1

將以上式子相加得：

n(a1b1+a2b2+…+anbn)³a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)

則

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參考文獻

《機率論及其套用（第3版）——圖靈數學·統計學叢書》