簡介
莫比烏斯帶莫比烏斯帶本身具有很多奇妙的性質。如果從中間剪開一個莫比烏斯帶，不會得到兩個窄的帶子，而是會形成一個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環（並不是莫比烏斯帶），再把剛剛做出那個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環從中間剪開，則變成兩個環。如果你把帶子的寬度分為三分，並沿著分割線剪開的話，會得到兩個環，一個是窄一些的莫比烏斯帶，另一個則是一個鏇轉了兩次再結合的環。另外一個有趣的特性是將紙帶鏇轉多次再貼上末端而產生的。比如鏇轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行鏇轉，然後重新貼上則會變成數個Paradromic。
莫比烏斯帶常被認為是無窮大符號“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還要早。
莫比烏斯
莫比烏斯莫比烏斯的科學貢獻涉及天文和數學兩大領域。在數學方面,首先是他對19世紀射影幾何學的影響。莫比烏斯發展了射影幾何學的代數方法。他在《重心計算》（1827年）一書中，創立了代數射影幾何的基本概念------齊次坐標。在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關係，並對交比概念給出了完善的處理。莫比烏斯帶（1858年）。他較早對拓撲學作深入的探討並給出恰當的提法。此外，莫比烏斯對球面三角等其它數學分支也有重要貢獻。
證明方法
剪開莫比烏斯帶拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，如同上頁圖那樣粘成一個莫比烏斯帶。現在像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想像出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決！比如在普通空間無法實現的“手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那么解決起來就易如反掌了。”
在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有著極大的不同。
“莫比烏斯帶”在生活和生產中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。
莫比烏斯帶是一種拓撲圖形,什麼是拓撲呢？拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應的關係，並且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象說法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字8。因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8,“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求。
相關理論
莫比烏斯帶在積分理論發展的過程中，由於曲面通常有兩側，所以人們要給曲面定個方向才能進行積分。但是，當時還沒有人知道是否存在這樣的曲面，它只有一側從而無法在它上面確定一個積分的方向。
而莫比烏斯帶正是這樣的一個單側曲面，它只有一個側面從而無法定向。所以這類曲面又有一個名字叫“不可定向曲面”。
由於莫比烏斯帶只有一個面，這個面的長度自然就是普通紙環一面長度的兩倍了。有人想到將這個特性用到傳送皮帶上，這樣的話就可以把磨損分攤到更多的地方，從而提高皮帶的壽命。這個想法還獲得了美國的專利。如果我們把紙帶想像成金屬帶，讓電流由其中一個夾子流入而從另一個夾子流出的話，在紙帶表面的電流有兩個可能的流動方向，而這兩個方向的電流產生的磁場恰好互相抵消。也就是說，電流在這個裝置流動的時候不會產生磁場，所以也不會有電磁感應的現象發生。這就是一個無電感電阻。這種電阻就叫默比烏斯電阻。
莫比烏斯帶在藝術和文化作品中也經常被引用，作為“無限循環”的一個象徵。國際通用的循環再造標誌就是一個綠色的、擺放成三角形的莫比烏斯帶。在《哆啦A夢》（小叮噹）漫畫中，就有一個形狀是莫比烏斯帶的道具，只要把它放在門把手上，裡邊的人開門就會回到同一個房間裡去。如果我們看科學館門前的環狀雕塑，多半也利用了類似莫比烏斯帶的性質，有空的話經過這些雕塑可以數一下這些環有多少個面多少條邊沿，我估計絕大部分結果都是1。而至於埃舍爾的例子就更是眾人皆知，也不用我饒舌了。
實驗室中也有可能產生莫比烏斯帶形狀的粒子。前不久，一群科學家在Journal of Chemical Physics上發表了一篇論文，其中預言了一種莫比烏斯帶形狀的碳單質（準確來說應該是石墨烯）。它能抵抗攝氏200度左右的溫度，算是相當穩定。由於它莫比烏斯帶的結構，它應該是一個偶極子，從而可以形成穩定的晶體。現在就等科學家們把它實際做出來了。
這一切，都是由數學家看到一個粘錯的紙環開始的。
和幾何學關係
可以用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶（如右圖）
莫比烏斯帶的參數方程這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數u在v從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。
從拓撲學上來講，莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1]，邊由在0≤x≤1的時候（x,0）~（1-x,1）決定。
莫比烏斯帶是一個二維的緊緻流形（即一個有邊界的面），可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是一個不可定向的的標準範例，可以看作RP#RP。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之一。特別地，它是一個有一纖維單位區間，I=[0,1]的圓S上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S上一個非平凡的兩個點（或Z2）的從。
有關的物體
和莫比烏斯帶非常近似的一個幾何學物體叫做克萊因瓶。一個克萊因瓶可以用貼上兩個莫比烏斯帶的方法製作出來。但是如果物體不進行自我交叉，這個步驟在三維空間內是不可能完成的。
另外一個相近的結構是真投影屏面。如果在真投影屏面上有一個洞的話，從左側看就會形成一個莫比烏斯帶。或者把莫比烏斯帶的邊界進行有限定義，就會形成一個真投影屏面。更形象地說法是重建莫比烏斯帶的邊緣形成一個普通的環。有一種普遍的誤解認為如果不進行平面的自我交叉就無法在三維空間內形成一個有普通環邊緣的莫比烏斯帶。事實上是可能的，方法是這樣的：定義C為xy面上的單位圓，現在連線C上面的對拓點，比如θ和θ+ π。當θ在0到π/2之間運動的時候，在xy面上方做這條線的反餘切，其他情況則在面下做反餘切。
套用
麥比烏斯圈在數學中的套用數學中有一個重要分支叫拓撲學，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，麥比烏斯圈變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。
麥比烏斯圈在實際生活中的運用
麥比烏斯圈的概念被廣泛地套用到了建築，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。
一、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶製成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。
二、針式印表機靠列印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。
三、在美國匹茲堡著名肯尼森林遊樂園裡，就有一部“加強版”的雲霄飛車——它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。
四、麥比烏斯圈循環往復的幾何特徵，蘊含著永恆、無限的意義，因此常被用於各類標誌設計。微處理器廠商PowerArchitecture的商標就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標誌也是由麥比烏斯圈變化而來。
拓撲變換
莫比烏斯帶趣味數學
| 趣味數學以帶有強烈的遊戲色彩知名於世。歐拉就是通過對bridge-crossing之謎的分析打下了拓撲學的基礎。萊布尼茨也寫到過他在獨自玩插棍遊戲時分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。馮·紐曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的計算機遊戲—生命是英國著名數學家康威發明的。愛因斯坦也收藏了整整一書架關於數學遊戲和數學謎的書。 |
