概述
一種單側、不可定向的曲面。因A.F.麥比烏斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)發現而得名。將一個長方形紙條ABCD的一端AB固定，另一端DC扭轉半周后，把 AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是麥比烏斯圈。
由來
數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然後只允許用一種顏色，在紙圈上的一面塗抹，最後把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。
你想想，應該怎樣粘這個紙圈？
如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要塗完一個面再重新塗另一個面，不符合塗抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對於這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。
後來，德國數學家麥比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。
有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕鬆舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉米葉子，在他眼裡變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。
葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈！
麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180。，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。
圓圈做成後，麥比烏斯捉了一隻小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。”
上面說的遊戲，只有把白紙條粘成“麥比烏斯圈”，才能按要求完成。
做幾個簡單的實驗，就會發現“麥比烏斯圈”有許多讓我們驚奇有趣的結果。
如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開後竟是一個大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開後的結果是什麼，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什麼呢？你自己動手做這個實驗就知道了。
數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，“麥比烏斯圈”變成了拓撲學中最有趣的問題之一。
關於麥比烏斯圈的單側性，可如下直觀地了解，如果給麥比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最後可把麥比烏斯圈兩面均塗上顏色 ，即區分不出何是正面，何是反面。對圓柱面則不同，在一側著色不通過邊界不可能對另一側也著色。單側性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴麥比烏斯圈單側曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。麥比烏斯圈是不可定向的。
