悖論內容
著名的生日悖論
23個人里有兩個生日相同的人的幾率有多大呢？
居然有50%
問題是這樣的： 如果一個房間裡有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的機率要大於50%。這就意味著在一個典型的標準國小班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對於60或者更多的人，這種機率要大於99%。
不計特殊的年月，如閏二月。
先計算房間裡所有人的生日都不相同的機率，那么
第一個人的生日是 365選365
第二個人的生日是 365選364
第三個人的生日是 365選363
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第n個人的生日是 365選365-(n-1)
所以所有人生日都不相同的機率是：
生日悖論那么，n個人中有至少兩個人生日相同的機率就是：
生日悖論所以當n=23的時候，機率為0.507
當n=100的時候，機率為0.999999692751072
對於已經確定的個人，生日不同的機率會發生變化。下面用 隨機變數計算：
令X[i,j]表示第i個人和第j個人生日不同的機率，則易知任意X[i,j]=364/365
令事件A表示n個人的生日都不相同
生日悖論P(A)=
解P(A)<1/2，由對數可得：n>=23
相比之下，隨機變數也同樣的簡單易懂
，且計算起來要方便得多
理解悖論
理解生日悖論的關鍵在於領會相同生日的搭配可以是相當多的。如在前面所提到的例子，23個人可以產生23 × 22/2 = 253種不同的搭配，而這每一種搭配都有成功相等的可能。從這樣的角度看，在253種搭配中產生一對成功的配對也並不是那樣的不可思議。
換一個角度，如果你進入了一個有著22個人的房間，房間裡的人中會和你有相同生日的機率便不是50%了，而是變得非常低。原因是這時候只能產生22種不同的搭配。生日問題實際上是在問任何23個人中會有兩人生日相同的機率是多少。
悖論套用
生日悖論普遍的套用於檢測哈希函式:N-位長度的哈希表可能發生碰撞測試次數不是2^N次而是只有2^(N/2)次。這一結論被套用到破解cryptographic hash function的生日攻擊中。
生日問題所隱含的理論已經在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的統計試驗得到套用，來估計湖裡魚的數量。
悖論定義
悖論是指一種導致矛盾的命題。悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。 如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。
把集合分成兩類，凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集，（例如，自然數集N本身不是一個自然數，因此N是正常集。）凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。（例如，所有的非生物的集合F也是非生物，因此F是異常集。）
這樣，許多日常中常見的悖論(說謊者悖論，理髮師悖論，上帝悖論等)都可以歸入異常集之中了。
另外一種悖論是關於無限的，雖然我們基本上都能接受極限的理論，但是要把這個理論向那些不懂的人解釋還是十分困難的。
經典故事
(古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）的阿基里斯悖論)阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。
(古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）的二分法悖論)當一個物體行進一段距離到達D，它必須首先到達距離D的二分之一，然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了D。
“1厘米線段內的點與太平洋面上的點一樣多”
康托爾（1845－1918）成功地證明了：一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。由於無限，1厘米長的線段內的點，與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”。
盤點各博弈論
| 博弈論(Game Theory)，有時也稱為對策論，或者賽局理論，是研究具有鬥爭或競爭性質現象的理論和方法，它是套用數學的一個分支，既是現代數學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科。 |
