沃爾什逼近
藉助於沃爾什函式系的逼近稱為沃爾什逼近。1922年出現了拉德馬赫爾函式,在工程上稱為開關函式。這是一個以1為周期的標準正交系。
沃爾什逼近
正文
在基本區間【0,1)上它們的定義如下:φ0(x)=1,若0≤x<1/2;φ0(x)=-1,若1/2≤x<1。對任一自然數n,
容易看出,對每個n,φn(x)在【0,1)的2
個等分區間上交錯地取值1與-1。沃爾什函式系是拉德馬赫爾函式系的完備化,首先由美國數學家J.L.沃爾什於1923年給出。如果把自然數n依二進表示為
其中 
則沃爾什函式wn(x)的定義為 w 0(x)=1,
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式中乘積是對一切滿足n-j=1的j而取。系{wn(x)}同樣以1為周期。例如,依二進制,13可表為13=23+22+20,故
,而有
。在工程上常用列率序的沃爾什函式。為此需要數的格雷碼。設對集{0,1}引用偽加運算如下: 
而對任意兩個二進制實數 
定義偽加
,這裡求和由-N +1與-L+1中較小者開始。一個自然數
的二進代碼是(n_N+1,…,n-1,n0),它的格雷碼G(n)便是 
對應的數是
,這裡約定 n-N=0。反之,如果知道了自然數 k的格雷碼
,則原來的數k的二進代碼是
。
於是,列率序的沃爾什函式系就是{wαln(x)},其中
。利用格雷反碼G -1(k),自然有
。在數學討論中以系{wk(x)}為便,但在工程上則以列率序為便。下面列舉依列率序的沃爾什函式系的一些性質。
① 乘法公式 對任意k, j=0,1,2,…有
。
② 第二乘法公式 對【0,1)中每個y,除有限個點不計外,關於x都有
(k=0,1,…)。
③ 在整個實軸上,除一個可列集不計外,wαl2k(x)是偶函式而wαl2k+1(x)是奇函式,k=0,1,…。此外,在周期區間【0,1)上,每個wαlk(x)的變號次數恰好是k,k=0,1,…。
④ 函式系{wαlk(x)}k=0,1,…構成【0,1)上的一個完備的標準正交系。
⑤ 函式系{wαlk(x)}k=0,1,…構成一個可換群。系中對每個n=0,1,…,前2n個函式{wαl0(x),wαl1(x),…,wαl
(x)}構成可換子群。
可將這些性質與正弦餘弦函式相比較。正是由於性質④,每個以1為周期的可積函式,都有沃爾什-傅立葉展開式:
,
式中
它們稱為ƒ(x)的沃爾什-傅立葉係數。如果用S
(x)表示展開式的首2n項部分和,那么,在區間【0,1)上幾乎處處有收斂關係
。
當ƒ(x)是平方可積時,像三角系情形一樣,有帕舍伐爾公式成立:
,
並且,展開式的部分和也幾乎處處收斂。一個有意義的例子是函式x依沃爾什系的展開式
。
它處處收斂並有很好的套用,例如鋸齒波。在考慮逼近問題時,這樣的逐段光滑函式用沃爾什展開比用三角級數展開,一般顯得更為有效。
對任意整數 p>2,可以討論一般的 p進沃爾什函式。還可以引進廣義沃爾什函式與沃爾什-傅立葉變式。此外,如果引進所謂邏輯導數,就容易給出簡單的沃爾什-傅立葉變式表。
設複數Aj=Aj(p), j=0,1,…, p-1由公式 
給出,式中
在定義於 【0,∞)上的復值函式。若在這區間上一點x處,和 
當N→∞時收斂,則極限值稱為ƒ(x)在x的邏輯導數,並記為ƒ<1>(x)。邏輯導數與平常導數的作用頗為類似。例如,對於指數函式eitx,它對x的平常導數是iteitx。對於廣義沃爾什函式w(t,x),關於x的邏輯導數有 
等等。可以用邏輯導數存在的程度來刻畫函式性質而得到一種分類法,這在逼近論中特別有用。在這裡存在邏輯導數意味著具有某種“光滑性”。整個理論構成了p進域的分析學。尤其有趣的是,最佳逼近論中的正、逆定理,各種逼近運算元的逼近性態與型可以同樣建立,在方法論上顯示它自身的特色。現代半導體技術與積體電路的快速發展,使沃爾什函式的產生與套用有了物質基礎。快速沃爾什變換比快速傅立葉變換省時。在資訊理論、線性系統、通信、電視、雷達與計算機等方面,沃爾什分析都有或將有廣泛的套用。沃爾什分析形成了非正弦分析的一個極為重要的方向。在理論上它直接通向局部緊群上調和分析。
參考書目
鄭維行、蘇維宜、任福賢著:《沃爾什函式理論與套用》,上海科學技術出版社,上海,1983。
鄭維行、蘇維宜: Walsh分析與逼近運算元,《數學進展》,第12卷,第2期,1983。配圖
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