比較審斂法

比較審斂法

在數學領域,收斂性判別法是判斷無窮級數收斂、條件收斂、絕對收斂、區間收斂或發散的方法。比較審斂法又稱比較審斂原理,是判別級數斂散性的一種方法。

基本信息

定理

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設 為一收斂的無窮級數,當中每項 都是正實數,而無窮級數 中的 可為複數。假定對任意n有 (這裡代表取複數的模)。

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(1)若 收斂,則 收斂。

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(2)若 ,則級數 。

證明

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(1)對於 有 ,第一個不等號是因有三角不等式而成立。按假定, 符合柯西收斂原理,所以 亦然。因為複數集的完備性,知 收斂。

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(2)設數列 分別代表 , 的部分和。因為對任意n有 ,所以 。由於 ,根據極限的保不等式性, ,即 。

推論

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(1)如果級數 收斂,且存在正整數N,使當 時,(k>0)成立,則級數 收斂;

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(2)如果級數 發散,且存在正整數N,使當 時,(k>0)成立,則級數 發散。

典型題

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判斷一般項為 的無窮級數的收斂性:

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因為 ,而一般項為1/n的級數發散(調和級數發散),由比較審斂法知此級數發散。

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