概念
（頂上的）有界集合和（底下的）無界集合的示意圖。底下的這個集合一直向右延續。若對於集合E，存在某個正數ρ，使得E中一切點都在以原點為心以ρ為半徑的圓之內，則稱E為有界集合。
實數集合S被“上有界”的，如果對於所有S中的s有一個實數k使得k≥s。這個數k被稱為S的上界。可類似的定義術語“下有界”和下界。
集合S是有界的，如果它有上界和下界二者。所以，實數集合集合是有界的，如果它包含在有限區間內。
度量空間
度量空間(M,d)的子集S是有界的，如果它包含在有限半徑的球內，就是說如果對於所有S中的s存在M中的x並且r>0，我們有d(x,s)<r。M是有界度量空間（或d是有界度量），如果M作為自身的子集是有界的。
•完全有界性蘊涵有界性。對於Rn的子集下列二者是等價的。
•度量空間是緊緻的，若且唯若它是完備的並且是完全有界的。
•歐幾里得空間Rn的子集是緊緻的，若且唯若它是閉集並且是有界的。
拓撲向量空間內的有界性
在拓撲向量空間中，存在叫做馮·諾伊曼有界性的不同的有界集合定義。如果拓撲向量空間的拓撲是引發自均勻度量，如度量是引發自賦范向量空間的範數的情況，則這兩個定義是一致的。
序理論中的有界性
實數的集合是有界的，若且唯若它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般性的有界性概念不對應於“大小”的概念。
偏序集合P的子集S叫做上有界的，如果對於所有S中的s，有P中一個元素k使得k≥s。元素k叫做S的上界。可類似的定義下有界和下界。
偏序集合P的子集S叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等價的說，它被包含在一個區間內。注意這不是集合S自己的一個性質，而是集合S作為P的子集的性質。
有界偏序集合P（就是說自身就是有界而不是作為子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關，有界偏序集合P的子集S帶有把在P上的次序的限制的作為次序不必然是有界偏序集合。
Rn的子集S是關於歐幾里得距離有界的，若且唯若它作為帶有乘積序的Rn的子集是有界的。但是，S可以作為關於帶有詞典序而不關於歐幾里得距離的Rn的子集是有界的。
序數的類被稱為是無界的，或共尾的，在給定任何序數的時候，總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下，“無界”不意味著自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。
