定義
定義1




設函式在數集上有定義,如果存在常數,使得對任意,有



則稱函式在數集上 有界,否則稱為 無界。




例如,函式在其定義域內有界,這是因為對任意,總有。













再如,函式在其定義域內是無界的,這是因為對任意的實數,總存在點,顯然,使得,然而,對任意實數,函式在定義域的子集上卻是有界的,這是因為對任意,總有,於是便可取實數.使得。
定義2




設函式在數集上有定義,如果存在常數,使得對任意,有





則稱函式在數集上 有上界,並稱M為在A上的 上界.如果存在常數m,使得對任意,有





則稱函式在數集上 有下界,並稱m為在上的 下界。




顯然,若在A上有界,則在A必有上、下界,反之,若在A上有上、下界,則在A上必有界。


由定義1可知,在集合A上有界函式的圖形在A上,應介於平行於x軸的兩條直線之間,如圖1所示。

注意點
關於函式的有界性.應注意以下兩點:
(1)函式在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界(見圖2).如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間,那么函式一定是無界的,如。

例題解析
例1:討論下列函式的有界性:

(1);

(2).




解: (1)由於對一切,都有故在上是有界函式。





(2)根據的圖形(見圖3)容易看出,不論正數M多么大,不等式不可能對一切均成立,因此在上是無界函式。






但如果在區間上討論函式,因對一切,不等式成立,故在區間上是有界函式。
例2:

證明:函式是有界函式。


證明:的定義域為,又


因此是有界函式。