定義







實數的一個集合 ,如果有實數 ,使得 中的所有點 ,都有 。 稱為 S的 上界。類似地可定義了 下界。如果集具有上限和下限, 則該集合為 有界的 。






歐氏空間 的一個集合 ,如果有實數 ,使得 中的所有點 ,都有 。則該集合為 有界的。
度量空間







度量空間 的子集 是有界的,如果它包含在有限半徑的球中,即存在 和 ,使得對任意的 ,有 。 稱為有界度量空間 ,如果 M作為其自身的子集是有界的。
•完全有界意味著有界。對於歐氏空間的子集, 兩者是等價的。
•度量空間是緊的當僅當它是完備的且完全有界的。
•歐氏空間的子集是緊的當僅當它是有界閉集。
序理論中的有界性
實數的子集是有界的,如果存在一個上界和一個下限。此定義可擴展到任何偏序集的子集 。須要注意, 這個更一般的有界概念並不對應於 "數的大小" 的概念,而是一種順序的前後。







偏序集 的子集 稱為有上界的,如果存在元素 ,使得對任意 ,有 。 稱之為 的一個上界。類似地,可以定義有下界的。若子集既有上界同時有下界,則稱為有界的。
例




對歐氏空間 中的 ,定義偏序 當僅當 a≤ a且 b≤ b此時,歐氏空間的子集有界性等價於在剛才定義偏序集的有界性。類似地,可推廣到。