舉例
例如，定義在實數上的函式f，
f(x)=x -3x+4，
則2是函式f的一個不動點，因為 f(2)=2。
也不是每一個函式都具有不動點。例如定義在實數上的函式f(x)=x+1就沒有不動點。因為對於任意的實數，x永遠不會等於x+1。用畫圖的話來說，不動點意味著點 (x,f(x))在直線y=x上，或者換句話說，函式f的圖像與那根直線有共點。上例 f(x)=x+1的情況是，這個函式的圖像與那根直線是一對平行線。
在函式的有限次疊代之後回到相同值的點叫做周期點；不動點是周期等於 1 的周期點。
原理
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x。
不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。
數學套用
1 利用f(x)的不動點解方程（牛頓切線法）
2 利用f(x)的不動點求函式或多項式的解析式
3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題
4 求解數列問題（求解一階遞歸數列的通項公式）
5 求解一階遞歸數列的極限
這是利用不動點開立方（牛頓切線法）的例子
開方：
公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3設A=5，開3次方
5介於1^3至2^3之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式：
第一步：X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，輸入值大於輸出值，負反饋
2-0.25=1.75，取2位數值,即1.7。
第二步：X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，輸入值小於輸出值正反饋
1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。
第三步：X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}輸入值大於輸出值，負反饋
第四步：X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.輸入值小於輸出值正反饋
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。X_4=1.7099。
當然也可以取1.1,1.2,1.3,...1.8,1.9中的任何一個。
實際套用
取一個淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒內的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來，隨機地揉成一個小球，再把小球扔進盒裡。拓撲學家已經證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什麼地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方。
通過具體找到這個點，就能說明這個問題了。
紙被揉成球以後，看它投到紙盒底部的影子。紙盒底部的影子區域肯定比紙盒底要小。那么，就取紙盒底部的在影子內的那個部分，它肯定對應於紙團裡面的某一小團部分。（因為整個底板對應於整個紙團，那么底板的一部分就肯定對應於一部分紙團）
假如去掉紙團的其他部分，那一小團部分同樣可以在紙盒底面投影，而且投影肯定比剛才的大投影小，而且在它之內。（因為它是在整個紙團之內）。那么，取這一小片投影（注意這片影子肯定是連續的不會斷開，因為紙沒有撕裂），當它再往紙團里對應的時候，肯定對應於其中更小的一團。我們再次把多餘的紙去掉。
就是說：
整個紙盒對應於紙團
紙盒【在紙團投影內的部分】對應於紙團內的一小塊
紙盒【一小塊的投影的部分】對應於剛才那一小塊內的更小一塊
紙盒【更小塊投影的部分】對應於更小塊中的更更小一塊
…………………………
不斷地去掉紙無限次，最後紙團只剩下了一個點，它的投影就對應於紙盒的一個點。
吸引不動點
函式 f的 吸引不動點是 f的不動點 x使得，對在足夠接近 x的定義域中的任何 x值而言，疊代函式序列
不動點收斂於 x。如何接近才是“足夠接近”有時是個微妙的問題。
自然餘弦函式（自然意味著使用弧度而非角度）有精確的一個吸引不動點。在這種情況下，“足夠接近”根本不是嚴格標準 -- 為了展示這個情況，在計算器上開始於任何實數並重複按“cos”鍵。它會快速的收斂於大約 0.73908513，這就是不動點。這是餘弦函式和線 y=x 在圖上的交叉點。
不是所有不動點都是吸引的：例如，x=0是函式 f(x)=2x 的不動點，但是這個函式對非零任意值的疊代快速的發散。
吸引不動點是更廣泛的數學概念吸引子的特殊情況。
吸引不動點被稱為 穩定不動點如果它也是李雅普諾夫穩定性的。
一個不動點被稱為是 中立穩定不動點如果它是李雅普諾夫穩定性的但不是吸引的。二階齊次線性微分方程的中心點是中立穩定不動點的例子。
定理
在數學的不同部分有很多定理保證函式、在一定的條件下，必定有一個或者更多的不動點。這些在最基本的定性結果當中，那些普遍性套用的不動點定理是非常具有價值的洞察。
