概念
工程設計中最最佳化問題(optimization problem)的一般提法是要選擇一組參數(變數),在滿足一系列有關的限制條件(約束)下,使設計指標(目標)達到最優值。因此,最最佳化問題通常可以表示為以下的數學規劃形式的問題。
對於一組可用列向量表示的變數,我們的目的是
式中的是“”的縮寫,表示“在約束條件之下”。和是指目標函式取最大值或最小值。
因此,進行工程最佳化設計時,應將工程設計問題用上述形式表示成數學問題,再用最最佳化的方法求解。這項工作就是建立最佳化設計的數學模型。
基本原理
設計變數與設計空間
式子中的是維實數空間(記為)中的一個向量,它由個分量組成。它是在最最佳化過程中變化而決定設計方案的量,即在最最佳化中需要進行選擇的一組數值,稱為設計變數向量。從幾何上講,每個變數向量就是以各變數分量為坐標軸的變數空間的一個點。當時,即只有一個變數分量,這個變數沿直線變化;當時,即只有兩個變數分量時,這個變數向量的所有點組成一平面;而當時,組成立體空間。有三個以上變數分量時,則構成多維空間。設計空間的每一個設計變數向量對應於一個設計點,即對應於一個設計方案。設計空間包含了該項設計的所有可能方案。
目標函式
式子中的稱為目標函式。它是設計變數向量的實值連續函式,通常還假定它有二階連續偏導數。目標函式是比較可供選擇的許多設計方案的依據,最最佳化的目的就是要使它取極值。在變數空間中,目標函式取某常值的所有點組成的面稱為等值面。即它是使目標函式取同一常數值的點集:
當,即只有兩個變數分量時為等值線。
等值面具有以下性質:
(1)有不同值的等值面之間不相交。因為目標函式是單值函式。
(2)除了極值點所在的等值面以外,不會在區域的內部中斷。因為目標函式是連續函式。
(3)等值面稠密的地方,目標函式值變化得比較快;稀疏的地方變化得比較慢。
(4)一般地說,在極值點附近等值面近似地呈現為通信橢圓面族。