基本簡介
注意：中國大陸數學界某些機構關於函式凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函式。Concave Function指凸函式。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函式的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。
另外，也有些教材會把凸定義為上凸，凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。
凸函式凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集C中任意兩個向量
,
。
凸函式於是容易得出對於任意（0,1)中有理數p,
。如果f連續，那么p可以改成任意（0,1）中實數。
凸函式若這裡凸集C即某個區間I，那么就是：設f為定義在區間I上的函式，若對I上的任意兩點
和任意的實數
，總有
凸函式則f稱為I上的凸函式，若且唯若其上境圖（在函式圖像上方的點集）為一個凸集
判定方法可利用定義法、已知結論法以及函式的二階導數
對於實數集上的凸函式，一般的判別方法是求它的二階導數，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函式。（向下凸）
如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函式。
屬性
性質
定義在某個開區間C內的凸函式f在C內連續，且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間，那么f有可能在C的端點不連續。
一元可微函式在某個區間上是凸的，若且唯若它的導數在該區間上單調不減。
一元連續可微函式在區間上是凸的，若且唯若函式位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特別地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。
一元二階可微的函式在區間上是凸的，若且唯若它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函式是不是凸函式。如果它的二階導數是正數，那么函式就是嚴格凸的，但反過來不成立。例如，f(x) = x4的二階導數是f "(x) = 12 x2，當x = 0時為零，但x4是嚴格凸的。
更一般地，多元二次可微的連續函式在凸集上是凸的，若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是正定的。
凸函式的任何極小值也是最小值。嚴格凸函式最多有一個最小值。
對於凸函式f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函式不一定是凸函式；這樣的函式稱為擬凸函式。
延森不等式對於每一個凸函式f都成立。如果X是一個隨機變數，在f的定義域內取值，那么（在這裡，E表示數學期望。）
凸函式還有一個重要的性質：對於凸函式來說，局部最小值就是全局最小值。
定義
定義1設f(x)在區間I上有定義,f(x)在區間I稱為是凸函式若且唯若:∀x1，∀x2∈I,有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf（x1)+(1-λ)f(x2)上式中“≥”改成“>”則是嚴格凸函式的定義.
定義2設f（x）在區間I上有定義,f（x）在區間I稱為是凸函式若且唯若:∀x1，∀x2∈I， 有f[（x1+x2）/2]≥f（x1）/2+f（x2）/2
定義3設f（x）在區間I上有定義,f（x）在區間I稱為是凸函式若且唯若∀x1、x2....xn∈I：,有f[（x1+x2+......xn）/n]≥[f（x1）+f（x2）+......f（xn）]/n
定義4f(x)在區間I上有定義,若且唯若曲線y=f(x)的切線恆保持在曲線以下,則成f(x)為凸函式.若除切點之外,切線嚴格保持在曲線下方,則稱曲線f(x)為嚴格凸的.
引理1定義2與定義3等價.
引理2若連續,則定義1，2，3等價.
