德拉姆上同調:德拉姆上同調(de Rham cohomology) 是同 -百科知識中文網

基本介紹

定義

任何光滑流形上的光滑微分-形式在加法之下形成一個交換群(實際上也是一個實向量空間，稱為

外導數給了以下的映射

下面是一個基本的關係

;

這本質上是因為二階導數的對稱性。所以-形式和外導數形成一個上鏈復形(cochain complex),稱為de Rham復形:

微分幾何術語中，是其它微分形式的外導數的形式稱為恰當形式(exact form)，而外導數為0的形式稱為閉形式；這個關係說明

恰當的微分形式都是閉的

其逆命題卻一般來說不成立；閉形式未必恰當。de Rham上同調的想法就是給一個流形上不同類型的閉形式分類。分類這樣進行，如果中的兩個閉形式和是上同調的，如果他們相差一個恰當形式，也就是，若為恰當形式。這個分類導出一個中的閉形式空間的一個等價關係。然後定義階 de Rham上同調群為

等價類的集合，也就是，中閉形式模恰當形式。

注意，對所有有n個連通分量的流形，

這是因為M上導數為零的函式在每個連通分量上為常數。

例證

例1

通常我們可以通過已知的0上同調羣和Mayer-Vietoris序列來計算一個流形的其他的德拉姆上同調羣。另一個有用的事實是德拉姆上同調是同倫不變數。下面是一些常見拓撲對象的上同調羣，但我們沒有給出計算步驟：

n-球:

對於n-球，或者球和一個開區間的乘積，我們有以下結果。令, 而為一個實開區間. 則:

n-圓環:

類似的，令，可以得到：

穿孔歐幾里得空間:

穿孔歐幾里得空間就是拿掉原點的歐幾里得空間。對於，我們有:

莫比烏斯帶(Möbius strip)，：

大致來說，下面的結果或多或少是因為莫比烏斯帶可"收縮(contract)"為一個1-球（圓）：

調和形式

若是一個緊黎曼流形，則每箇中的等價類包含恰好一個調和形式。也就是說，給定閉形式的等價類的任一代表可以寫為

其中是一個形式，而是調和的：。

注意一個緊黎曼流形上的調和函式是一個常數。這樣，這個特殊的代表元素可以視為流形上所有上同調等價的形式中的一個極值(極小值)。例如，在2-圓環上，一個常1-形式可以視為在一個形式，它所有的"毛"都整齊的梳到一個方向(而且所有的毛都一樣長)。這個情況下，這表示2維環的第一貝蒂數是2。更一般的，在一個維環上，可以考慮-形式的各種不同的梳理。有種不同的梳理用來建立的一個基；因此-環的第貝蒂數就是。