分類
上同調運算包括平展上同調（Étale cohomology），德拉姆上同調（de Rham cohomology），李代數上同調，伽羅瓦上同調，霍赫希爾德同調。
平展上同調
在數學中，一個代數簇或概形的 平展上同調（Étale cohomology）是一個與一般拓撲空間的有限係數上同調群類似的代數結構。這一概念作為證明韋伊猜想的工具由亞歷山大·格羅滕迪克引入。平展上同調的理論可以用於構建 ℓ進上同調，後者則是代數幾何中韋伊上同調理論的一個例子。這一理論有著眾多的套用，包括Weil猜想的證明以及李型有限單群的表示的構造。
目的
對於復代數簇，代數拓撲中的某些不變數（例如基本群和上同調）是非常有用的，因此自然地我們希望為其他域（例如有限域）上的代數簇也定義類似的概念。（特別地，韋伊指出了這樣的上同調理論可以用於證明韋伊猜想。）對於凝聚層的上同調，塞爾指出僅利用代數簇上的扎里斯基拓撲就可以進行定義，而且在復代數簇的情況下，這樣的定義可以與（更細緻的）複數拓撲導出相同的上同調群。但是，對於常值層（例如整數層），這樣的定義則不適用，因為使用扎里斯基拓撲定義的上同調群效果不佳。例如，韋伊希望可以為有限域上的簇構造一個上同調理論，使其擁有與拓撲空間的奇異上同調有類似的效力；但實際上，任何不可約簇上的常值層都有著平凡的上同調群（所有高階上同調群都是平凡的）。
上同調運算扎里斯基拓撲之所以不適用，是因為它過於粗糙：它包含的開集過少。另一方面，為任意的代數簇賦予更細緻的拓撲似乎也並不可行。格羅滕迪克的創見則在於認識到廣義的開集並不需要是代數簇的子集：層的定義並不需要限制於開子集範疇，事實上它對於任何範疇都一樣適用。於是，格羅滕迪克將開子集範疇替換為平展態射範疇，並由此定義了平展上同調。粗略地來說，平展態射可以被看作空間的有限非分支覆蓋上的開集。這樣的構造，（經過大量的工作之後），被證明提供了恰好足夠多的開集，使得常係數上同調群（特別地，對於 ，其中n與域特徵互質）有良好的性質。
一些基本的直觀理解如下：
•若隱函式定理在代數幾何中為真，則平展條件可被看作該定理的前提。（注意隱函式定理在一般的代數幾何中並不為真）
•對於阿貝爾簇，在0和1維的情況下，一些常係數層的基本情況可以用其他理論（例如伽羅瓦上同調和泰特模）來預測。
定義
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上同調運算令 為一個概形之間的態射， 為一個Y-概形，J為一個Z上的冪零理想層（nilpotent sheaf of ideals）， 為 所確定的閉浸入。我們稱 是 形式平展的，若對於所有的Y-態射 ，都存在唯一的Y-態射 使得 。我們稱 是 局部有限表示的，若對於 的每一點 , 都有一個 的鄰域 和 的鄰域 使得 而且 是一個 上的有限表示代數（即，前者可被看作後者的一個有限多項式環約去一個有限生成理想所得到的商代數）。一個形式平展且局部有限表示的態射被成為一個平展態射（Étale morphism）。等效地，一個平坦（flat）且非分歧（unramified）的態射是一個平展態射（參見：概形論術語）。
上同調運算
上同調運算 上同調運算對於任何一個概形 ，令 表示其全部平展態射組成的範疇。注意到它與概形的關係類似於開子集範疇與拓撲空間的關係，而該範疇的對象則可以被（非正式地）看成是X的“平展開子集”。拓撲空間中兩個開集的交集則可以看成兩個平展態射的拉回。稍微需要注意的一點細節是 並非是一個小範疇；但是因為平展態射是局部有限表示的，將其視作小範疇亦無妨。
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上同調運算 上同調運算一個拓撲空間上的預層是一個從開子集範疇到集合範疇（ ）的逆變函子；類似地，我們定義一個概形的 平展預層為從 到 的一個逆變函子。一個預層被稱為層，若層條件（當一個開集 被 覆蓋，且 均被給定，使得所有的這些 在任意的 上都有一致的取值，則 都是唯一的某個 的像）可以得到滿足；因此類似地，我們稱一個平展預層為平展層，若對應的平展層條件得到滿足。（這裡“並集”被平展映射的拉回代替，而“ 覆蓋 ”則被定義為 覆蓋 。）對於任何範疇上的格羅滕迪克拓撲，我們都可以類似地定義層的概念。
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上同調運算因為一個概形上的阿貝爾層（取值為阿貝爾群的層）的範疇包含足夠多的單射對象，我們可以在其上定義左正合函子的右導出函子。對於一個阿貝爾層的範疇 ，其全局截面函子是一個映射 ，將每個層 映射到其全局截面（也就是 ）。給定一個阿貝爾層 ，定義其 平展上同調群為 的右導出函子 在 上的值。特別地， 便是 。
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上同調運算 上同調運算更為一般地，若 是一個從 到 的概形態射，則有 函子從X的平展層映射到Y的平展層，而其右導出函子則被寫為 。若Y是一個代數閉域的譜（也就是一個點），則 與 相同。
上同調運算令X為諾特概形。若一個X的阿貝爾平展層被X的一個平展覆蓋所表示，則我們稱其為 有限局部常值的。若X可被有限個子概形覆蓋，且F在每個子概形上都是有限局部常值的，則稱F為可構造的。若對於任何X的平展覆蓋U， 都是撓群，則稱F為撓的。自然地，有限局部常值的層都是可構造的，而可構造層都是撓的。每一個撓層都是一個可構造層的濾子歸納極限。
性質
大致上，ℓ進上同調群與複數簇的奇異上同調群有類似的性質，區別在於前者是ℓ進數（或ℓ進有理數）的模而後者是整數（或有理數）的模。在非奇異射影簇上，龐加萊對偶性成立，且複數簇的“模p約化”的ℓ進上同調群與奇異上同調群多數情況下有同樣的秩。Künneth公式同樣也成立。
例如，一個復橢圓曲線的第一上同調群是一個秩為2的整數自由模，而一個有限域橢圓曲線的第一ℓ進上同調群則是一個秩為2的ℓ進數自由模（只要ℓ不是該有限域的特徵），而且後者與泰特模對偶。
ℓ進上同調群在一個意義上優於奇異上同調群：前者往往受伽羅瓦群作用。例如，若一個複數簇在有理數上定義，則其ℓ進上同調群受有理數的絕對伽羅瓦群的作用，因此是一個伽羅瓦表示。
有理數的伽羅瓦群的元素（除去平凡元和共軛元之外），大多不在有理數上定義的複數簇上有 連續作用，因此大多不在奇異上同調群上作用。這一現象與拓撲空間的基本群在奇異上同調群上作用的事實有關，因為格羅滕迪克證明了伽羅瓦群可以被視作某種形式的基本群。
霍赫希爾德同調
概述
數學中， 霍赫希爾德同調（Hochschild homology）是環上結合代數的同調論。對某些函子也有一個霍赫希爾德同調。這是以德國數學家格哈德·霍赫希爾德（Gerhard Hochschild）冠名的。
代數的霍赫希爾德同調之定義
設 k是一個環， A是一個結合 k-代數， M是一個 A-雙模。我們記 A為 A在 k上的 n重張量積。給出霍赫希爾德同調的鏈復形是
上同調運算邊緣運算元d定義為
上同調運算
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上同調運算這裡對所有 1 ≤i≤n，a屬於A，而m∈M。如果我們令
上同調運算則b°b= 0，所以 (C(A,M),b) 是一個鏈復形，叫做 霍赫希爾德復形，它的同調是A係數取M的 霍赫希爾德同調。
伽羅瓦上同調
上同調運算
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上同調運算在數學中， 伽羅瓦上同調是一套用群上同調研究伽羅瓦群的作用的技術。具體言之，假設伽羅瓦群作用在一個群（通常是數論中出現的代數結構，如等等）上，伽羅瓦上同調研究相關的群上同調。這些群通常具有重要的數論或算術代數幾何意義。
伽羅瓦上同調是現代代數數論的基石之一。
在代數數論中的套用
伽羅瓦上同調最早在1950年代被提出，主要與克勞德·謝瓦萊在類域論上的工作相關。這套理論的目的在以群上同調“代數地”闡釋類域論，避免使用L-函式。哈瑟原理在伽羅瓦上同調的框架下能得到清晰的描述。
在代數幾何中的套用
伽羅瓦上同調關係到算術代數幾何中的許多重要問題，例如橢圓曲線上的整點個數。作為下降理論在平展拓撲上的套用，第一個伽羅瓦上同調群分類了概形{\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}上的扭子，這是主叢在代數幾何上的推廣。借著下降理論，可以用伽羅瓦上同調研究二次型式、中心單代數與 Severi-Brauer 簇等等結構。
李代數上同調
在數學中， 李代數上同調是李代數的一種上同調理論，由謝瓦萊和艾倫伯格為了對緊李群的拓撲空間的上同調進行代數構造而建立。在上文提及的論文中，一個特定的被稱作Koszul復形的特殊復形，在李代數的模上定義，而其上同調則以一般形式被構造。
動機
令G為一個緊李群，則其被對應的李代數完全確定，因此由李代數來確定李群上同調應為可能的。我們使用如下的構造。注意到李群的上同調是G上的微分形式構成的復形對應的德拉姆上同調，而這個復形可以被替換為等變微分形式的復形，而後者則可以被看作帶有一個合適的微分運算元的李代數的外代數。這一微分運算元的構造對於任何李代數都成立，因此被用於定義所有李代數的李代數上同調。更加一般化地，我們可以用類似的構造來定義模係數的李代數上同調。
定義
上同調運算
上同調運算 上同調運算 上同調運算 上同調運算令是一個交換環R上的一個李代數，其泛包絡代數為；令M為的一個表示（或者，等效地，的一個模）。將R考慮為的一個平凡表示，則可以構造上同調群
上同調運算（參見Ext函子）。等效地，我們可以將其看作下面這個左正合不變子模函子的右導出函子：
上同調運算類似地，可以定義李代數同調群為
上同調運算（參見Tor函子）。我們也可以將其看作下面這個右正合協不變函子的左導出函子：
上同調運算李代數上同調的重要基本結果包括：懷特海德引理，外爾定理和萊維分解定理。
德拉姆上同調
概述
數學上， 德拉姆上同調（de Rham cohomology）是同時屬於代數拓撲和微分拓撲的工具。它能夠以一種特別適合計算和用具體的上同調類的方式表達關於光滑流形的基本拓撲信息。它是基於有特定屬性的微分形式的存在性的上同調理論。它以不同的確定的意義對偶於奇異同調，以及亞歷山大-斯潘尼爾上同調。
定義
任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一個交換群(實際上也是一個實向量空間，稱為Ω(M)。外導數d給了以下的映射d:Ω(M) → Ω(M).下面是一個基本的關係d=0；這本質上是因為二階導數的對稱性。所以k-形式和外導數形成一個上鏈復形(cochain complex)，稱為de Rham復形：
上同調運算微分幾何術語中，是其它微分形式的外導數的形式稱為 恰當形式(exact form)，而外導數為0的形式稱為 閉形式(參看閉形式和恰當形式)；d=0這個關係說明 恰當的微分形式都是閉的。
