基本信息
動力系統研究隨時間演變的系統的一門分支學科，又稱動力學系統、動態系統。它的研究對象是一系統的所有可能狀態構成的狀態空間R,以及由R 中的變換組成的演變規律 φt： R →R (－∞<t<∞)
這意味著系統的某一狀態x(可寫作x∈R)在時刻t遵循這一規律演變為狀態 φt(x)。演變規律一般需滿足下述三個條件，即：①
微分動力系統(其中dist表示M上一拓撲度量)都將是M中的C浸入子微分流形，分別稱為Q 的穩定流形和非穩定流形。
曾經有一種推測認為,S 結構穩定,若且唯若它滿足①公理A:S 在非遊蕩集Ω(S)上有雙曲構造，且Ω(S)有由奇點和周期軌道構成的稠密子集；②強勻斷條件：若Q1和Q2是S 的軌道嶅Ω(S)，則W-(Q1)與W+(Q2)恆勻斷相交，這意味著W-(Q1)和W+(Q2)在任一x∈W-(Q1)∩W+(Q2) 處的切空間張開成M在x處的切空間。這一推測是前述2維特徵性定理的推廣形式，它的充分性部分早已由C.魯賓孫驗證。關於必要性部分的證明主要須證明S在Ω(S)上有雙曲構造，目前尚只在低維情況下有部分答案。
另一種重要的穩定性是所謂Ω穩定性。S 叫做Ω穩定的，如果它在X(M)中有一鄰域Δ，使得只要X∈Δ，即有從Ω(S)到Ω(X)上的拓撲變換，把S在Ω(S)中的軌道映到X的軌道。若S是Ω穩定的,則它是否在Ω(S)上有雙曲構造，這個問題也還只有部分答案。顯然，結構穩定蘊涵Ω穩定。若n≥3，X(M)一般也沒有由Ω穩定系統組成的稠密子集。
關於這方面的研究，一個有用的工具可能是所謂聯繫於X∈X(M)的阻礙集Ob(X)。例如,s滿足公理A和強勻斷條件，若且唯若I(S)∪Ob(S)是空集,其中I(S)表示S的奇點集合在M中的內集。若Ob(S)非空,則存在關於S的極小歧變集。
其他信息
離散系統設Diff(M)是M上由所有C微分同胚組成的集合,取C拓撲。對於f∈Diff(M)所產生的離散系統，可以與常微系統情況相平行地引入一些概念。例如f過一點x∈M的軌道是{f(x)|p=0,±1,±2,…}。如果f在Diff(M)中有一鄰域K，使得只要g∈K，就一定可找到一拓撲變換η:M→M滿足ηf=gη,則稱f為結構穩定的。
文獻上先出現有關微分同胚所產生的離散系統的論述，然後再擴充到常微系統，這種情況是頗為常見的。例如上述關於結構穩定的推測原是帕利斯和S.斯梅爾先就微分同胚提出，其充分性的驗證也是J.羅賓先就C微分同胚給出，然後經他人推廣到常微系統。但用扭擴辦法，從有關常微系統的成果也常可直接導至離散系統的成果，把後者作為前者的特例來處理。關於離散系統的研究也已延伸至半離散系統。
進展在微分動力系統的研究中，關心的是系統的性質（主要是整體性質）及其在擾動中的變化。在研究結構穩定與Ω穩定的同時,人們發現s∈X(M)的相圖不僅可能很複雜，而且在擾動中又可能變化多端，不管是隨機的還是確定性的，當S 有一鄰域不含有任何Ω穩定系統時，更顯得有此可能。這反映了自然界的一些混沌現象，因而受到關注。因此,從洛倫茨方程到呂埃爾-泰肯引進奇異吸引子概念，從費根鮑姆常數到倍周期分岔等一系列成果，推動了這個領域中計算機仿真、科學實驗和數學論證三方面相結合的研究。
70年代末以來，中國科學家錢學森致力於系統學和系統科學體系的建立。微分動力系統的理論成果可以為這一體系的形成作出貢獻。作為系統科學的一部分，微分動力系統這一數學分支須考察怎樣和其他部分相配合。在這方面微分動力系統尚處於亟待發展的階段。
參考書目
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G.I.Barenblatt，G.Iooss and D.D.Joseph(eds), Non-linear Dynamics and Turbulence, Pitman, Boston-London-Melbourne,1983.
