豪斯多夫維

這裡的d就是這個集合的豪斯多夫維。 對於一條有限長度的曲線來說所需的“球體”的個數和它的半徑成反比，那么曲線的豪斯多夫維數為1。 對於一個平面而言，所需的“球體”的個數明顯和它的半徑的平方成反比，那么這個平面的豪斯多夫維數則為2。

豪斯多夫維又稱作豪斯多夫-貝塞科維奇維（Hausdorff-Becikovich Dimesion），它是由數學家豪斯多夫於1918年引入的。通過豪斯多夫維可以給一個任意複雜的點集合比如分形（Fractal）賦予一個維度。對於簡單的幾何目標比如線、長方形、長方體等豪斯多夫維等同於它們通常的幾何維度或者說拓撲維度。通常來說一個物體的豪斯多夫維不象拓撲維度一樣總是一個自然數而可能會是一個非整的有理數或者無理數。從直覺上來說一個集合的維數是描述這個集合中一點所需的獨立參數的個數。比如要描述一個平面里的一點我們需要兩個坐標X和Y，那么平面的維數便是2。最接近這個想法的數學模型是拓撲維度。可以預見拓撲維度必然是一個自然數。但是拓撲維度在描述某些不規則的集合比如分形的時候遭遇到了困難，而豪斯多夫維則是一個描述該種集合的恰當工具。
構想有一個由三維空間內具有有限大小的點組成的集合，N是用來覆蓋這個集合內所有點所需的半徑為R的球體的最少個數，則這個最小數N是R的一個函式，記作N(R)。顯然R越小則N越大，假設N(R)和Rd之間存在一個反比的關係，我們把這個關係記作
當R趨向於0時，我們得到
這裡的d就是這個集合的豪斯多夫維。
在這裡除了球體以外也可以使用正方體或其它類似的物體來覆蓋集合內的點。如果是在一個二維平面內則應該使用圓而非球體。總之在一個n維空間則應該使用相應的n維物體。對於一條有限長度的曲線來說所需的“球體”的個數和它的半徑成反比，那么曲線的豪斯多夫維數為1。對於一個平面而言，所需的“球體”的個數明顯和它的半徑的平方成反比，那么這個平面的豪斯多夫維數則為2。
考察一個特殊的幾何物體，這個物體由n個大小一致且互不重疊的小物體組成，這些小物體的形狀和這個物體本身相同。若這些小物體和大物體的大小比例為1:m，那么這個幾何物體的豪斯多夫維數為d = log(n)/log(m)。若這些小物體的大小不同，設每個小物體與大物體的大小比例為mi，那么有。這裡我們稱其為相似維度。下面是兩個例子：
正方形：一個正方形由9個長寬都只有它三分之一的小正方形組成，那么。
科赫曲線(de:Koch-Kurve)：科赫曲線的每一部分都由4個跟它自身比例為1:3的形狀相同的小曲線組成，那么它的豪斯多夫維數為，是一個無理數。
實際上豪斯多夫維的計算並不象上面的例子那樣簡單，甚至可以說很不容易。
豪斯多夫外測度： 令(X,d)為一個度量空間，E為X的一個子集，定義
並且E能被集族(Aj)k所覆蓋。 則E的豪斯多夫外測度被定義為：
豪斯多夫維 豪斯多夫維被定義為豪斯多夫外測度從零變為非零值跳躍點對應的s值。嚴格的定義為：
論文的首部分，孟德伯討論了峨斯·弗賴·理查森對海岸線與其他自然地理邊界的測量出來的長度如何依賴測量尺度的研究。理查森觀察到，不同國家邊界測量出來的長度L(G)是測量尺度G的一個函式。他從不同的好幾個例子裡蒐集資料，然後猜想L(G)可以透過以下形式的一個函式來估計：
L(G)=MG1-D
孟德伯將此結果詮釋成顯示海岸線和其他地理邊界可有統計自相似的性質，而指數D則計算邊界的豪斯道夫維度。透過這個看法，理查森的研究的例子的有著從南非海岸線的1.02到英國西岸的1.25的維度。
在論文的第二部分，孟德伯描述了不同的關於科赫雪花的曲線，它們都是標準的自相似圖形。孟德伯顯示計算它們的豪斯道夫維度的方法，它們的維度都是1和2之間。他亦提及填滿空間、維度為2的皮亞諾曲線，但並未給出其構造。
這篇論文很重要，因為它既顯示了孟德伯早期對分形的思想，同時又是數學物件和自然形式的聯結的例子——孟德伯以後很多工作的主題。