歷史
勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨後在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發表的。
例子
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度1.如果 A是一個區間 ， 那么其勒貝格測度是區間長度 。開區間 的長度與閉區間一樣，因為兩集合的差是零測集。
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度2. 如果 A是區間 和 的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積 。
3.康托爾集是一個 勒貝格測度為零的不可數集的例子。
性質
勒貝格測度上的勒貝格測度有如下的性質 ：
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度1. 如果 A是區間 的笛卡爾積，那么 A是勒貝格可測的，並且 其中 表示區間 I的長度。
2. 如果 A是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的並，那么 A也是勒貝格可測的，並且λ( A) 就是這些可測集的測度的和（或無窮級數的和）。
3. 如果 A勒貝格可測的，那么它的補集（相對於 R）也是可測的。
4. 對於每個勒貝格可測集 A，λ( A) ≥ 0 。
5. 如果 A與 B是勒貝格可測的，且 A是 B的子集，那么λ( A) ≤ λ( B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可數多個是勒貝格可測集的交或者並仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。
7. 如果 A是一個開集或閉集，且是 R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那么 A是勒貝格可測的。
8. 如果 A是一個勒貝格可測集，並有 λ( A) = 0 (零測集)，則 A的任何一個子集也是零測集。
勒貝格測度9. 如果 A是勒貝格可測的， x是 R中的一個元素， A關於x的平移（定義為 ）也是勒貝格可測的，並且測度等於 A.
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度10. 如果 A是勒貝格可測的， ，則 關於 的擴張（定義為 ）也是勒貝格可測的，其測度為 。
勒貝格測度11. 更廣泛地說，設 T是一個線性變換， A是一個 R的勒貝格可測子集，則 T( A)也是勒貝格可測的，其測度為 。
12. 如果 A是 R的勒貝格可測子集， f是一個 A到 R上的連續單射函式，則 f( A)也是勒貝格可測的。
勒貝格測度
勒貝格測度簡要地說， 的勒貝格可測子集組成一個含所有區間及其笛卡爾積的σ代數，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 的測度。
勒貝格測度是 σ-有限測度。
零測集
勒貝格測度的子集是零測集，如果對於每一個ε > 0，它都可以用可數個 n個區間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數集都是零測集。
勒貝格測度 勒貝格測度如果 的子集的豪斯多夫維數小於 n，那么它就是關於 n維勒貝格測度的零測集。在這裡，豪斯多夫維數是相對於 上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於 n，但具有正的 n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。
為了證明某個給定的集合 A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合 B，與 A只相差一個零測集，然後證明 B可以用開集或閉集的可數交集和並集生成。
勒貝格測度的結構
勒貝格測度的現代結構，基於外測度，是卡拉特奧多里發明的。
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度固定 ， 中的 盒子是形如 的集合，其中 。這個盒子的體積 定義為
勒貝格測度
勒貝格測度對於任何 的子集 A，我們可以定義它的外測度 ：
勒貝格測度
勒貝格測度
勒貝格測度是可數個盒子的集合，它的並集覆蓋了 。然後定義集合 A為勒貝格可測的，如果對於所有集合 ，都有：
勒貝格測度這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。勒貝格測度定義為λ( A) = λ( A)對於任何勒貝格可測的集合 A。
勒貝格測度 勒貝格測度根據維塔利定理，存在實數 的一個勒貝格不可測的子集。如果 A是的任何測度為正數的子集，那么 A便有勒貝格不可測的子集 。
與其他測度的關係
在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。
勒貝格測度哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的是一個局部緊群）。
勒貝格測度 勒貝格測度豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對於測量的維數比 n低的子集是很有用的，例如內的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的概念混淆。
可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。
