實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零。實數集通常用字母R或<math> \Bbb </math>表示。而用 Rn 來代表 n 維實數空間 (n-dimensional real space)。
實數可以用來測量連續的量的。 實數是不可數的。 理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是循環的，也可以是非循環的)。 在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點後n位，n為正整數)。 在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數(floating point numbe）
歷史
埃及人早在公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們就意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據說中國也曾發明負數，但稍晚於印度。 在1871年，德國數學家康托爾最早地全面地給出了實數的定義。從有理數構作實數
實數可以不同方式從有理數（即分數）構作出來，詳見實數之構作。
公理系統
如果 R 是所有實數的集合，則：集合 R 是一個體： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等運算規律。
集合 R 是有序的：設 x, y 和 z 為實數，則：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0.
集合 R 是完整的：設 R 的一個非空的子集合 S (<math>S \in R, S\ne\emptyset</math>), 如果 S 在R 內有上限，那麼 S 在 R 內有最小上限。
最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於2的有理數的集合存在有理數上限(1.5), 但是不存在有理數最小上限(<math>\sqrt2</math>)。
實數是唯一適合似上等特性的集合：亦即如有兩個如此集合，則兩者之間必存在代數學上所稱的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。
15 (整數)
2.121 (有限小數)
1.3333333... (無限循環小數)
3.1415926... (無限不循環小數)
<math>\sqrt3</math> (無理數)
<math>\frac1 3</math> (分數)
特性
完備性
實數集是拓撲完備的測度空間或一致空間，它有以下特性：
所有實數的柯西序列都有一個實數極限。
有理數集並非拓撲完備，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列卻沒有有理數極限。但它卻有個實數極限 √2。實數集是有理數集的空備化——這亦是其中一個構作實數集的方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐基里德幾何的直線沒有“空隙”。
