基本概況
根據對等這種關係對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類。任意
基數一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作(或｜A｜，或cardA)。這樣，當A與B同屬一個類時，A與B就有相同的基數，即|A|=|B|。而當A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。 如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致。空集的基數也記作σ。於是有限集的基數也就是傳統概念下的“個數”。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任一可數集（也稱可列集）與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同。所以集合的基數是個數概念的推廣。
基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即|A|＝a，|B|＝β，如果A與B的某個子集對等，就稱A的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果a≤β，但a≠β（即A與B不對等），就稱A的基數小於B的基數，記作a＜β，或β＞a。在承認策梅羅(Zermelo)選擇公理的情況下，可以證明基數的三岐性定理——任何兩個集合的基數都可以比較大小，即不存在集合A和B，使得A不能與B的任何子集對等，B也不能與A的任何子集對等。 基數可以進行運算。設|A|＝a，|A|＝β，且A∩B是空集，則規定為a與β之和記作＝a＋β。設|A|＝a，|B|＝β，A×B為A與B的積集，規定為a與β的積，記作＝a·β。
歷史
康托爾在1874年～1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時, 首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，它們並非相同，但有相同的基數。但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？
康托爾的答案，是所謂一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。用相同的方法可比較任意集合，包括無窮集合的大小。
基數最先被考慮的無窮集合是自然數集 N = {1, 2, 3, ...} 及其無限子集。他把所有與 N 能一一對應的集為可數集。 N 的所有無限子集都能與 N一一對應。他把N的基數稱為
(讀做阿列夫零，阿列夫是希伯來文的第一個字母)，是最少的超窮基數（transfinite cardinal numbers）。
基數康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，稍後他得出著名的對角論證法，實數集是不可數的。實數集的基數，記作
，代表連續統。
接著康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。
基數康托爾隨後提出連續統假設：
就是第二個超窮數
, 即繼
之後最小的基數。多年後，數學家發現這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。
動機
在非形式使用中，基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於 0 的自然數(就是 0, 1, 2, ...)。計數嚴格的是可形式定義為有限基數的東西。無限基數隻出現在高級數學和邏輯中。
更加形式的說，非零數可以用於兩個目的: 描述一個集合的大小，或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列，可以輕易的看出著兩個概念是相符的，因為對於所有描述在序列中的一個位置的數，我們可以構造一個有精確的正好大小的集合，比如 3 描述 'c' 在序列 <'a','b','c','d',...> 中的位置，並且我們可以構造有三個元素的集合 {a,b,c}。但是在處理無限集合的時候，在這兩個概念之間的區別是本質的 — 這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置示象(aspect)導致序數，而大小示象被這裡描述的基數所普遍化。
在基數形式定義背後的直覺是構造一個集合的相對大小的概念而不提及它有那些成員。對於有限集合這是容易的；你可以簡單的計數一個集合的成員的數目。為了比較更大集合的大小，必須藉助更加微妙的概念。
一個集合 Y 是至少等於（這裡指構造的集合的相對大小）或大於等於一個集合 X，如果有從 X 的元素到 Y 的元素的一個單射(一一映射)。一一映像對集合 X 的每個元素確定了一個唯一的集合 Y 的元素。這通過例子是最容易理解的；假設我們有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d}，則使用這個大小概念我們可以觀察到有一個映射:
1 → a
2 → b
3 → c
這是一對一的，因此結論出 Y 有大於等於 X 的映射。注意元素 d 沒有元素映像到它，但這是允許的，因為我們只要求一一映射，而不必須是一對一併且完全的映射。這個概念的好處是它可以擴展到無限集合。
我們可以擴展這個概念到一個等式風格的關係。兩個集合 X 和 Y 被稱為有相同的勢，如果存在 X 和 Y 之間的雙射。通過 Schroeder-Bernstein定理，這等價於有從 X 到 Y 和從 Y 到 X 的兩個一一映射。我們接著寫為 | X | = | Y |。X 的基數自身經常被定義為有著 | a | = | X | 的最小序數a。這叫做馮·諾伊曼基數指派；為使這個定義有意義，必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢；這個陳述就是良序原理，它等價於選擇公理。然而有可能討論集合的相對的勢而不用明確的指派名字給對象。
在無限旅館悖論也叫做希爾伯特大旅館悖論中使用的經典例子。假設你是有無限個房間的旅館的主人。旅館客滿，而又來了一個新客人。有可能通過讓在房間 1 的客人轉移到房間 2，房間 2 的客人轉移到房間 3 以此類推，騰空房間 1 的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個映射的一個片段:
1 ↔ 2
2 ↔ 3
3 ↔ 4
...
n ↔ n+1
...
在這種方式下我們可以看出集合 {1,2,3,...} 和集合 {2,3,4,...} 有相同的映射，因為已經展示了這兩個集合之間的雙射。這激發了定義無限集合是有著相同的勢的真子集的任何集合；在這個情況下 {2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。
當我們考慮這些大對象的時候，我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。碰巧不符合；通過考慮上面的例子，我們可以看到“比無限大一”某個對象存在，它必須有同我們起初的無限集合有一樣的勢。有可能使用基於計數並依次考慮每個數的想法的叫做序數的不同的數的形式概念，而我們發現勢和序(ordinality)的概念對於無限數是有分歧的。
可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢。這可以使用對角論證法來可視化；勢的經典問題(比如連續統假設)關心發現在某一對無限基數之間是否有某個基數。數學家已經描述了更大更大基數的性質。
因為基數是數學中如此常用的概念，使用了各種各樣的名字。勢相同有時叫做等勢、均勢或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此稱有相同映射的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
基數算術
我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。給定集合 X 與 Y，定義 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，則基數和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 與 Y 不相交，則 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基數積是|X||Y| = |X × Y|，其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡兒積。基數指數是|X|^|Y| = |X^Y|，其中 X^Y 是所有由 Y 到 X 的函式的集合。
普通性質
在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的特質：
加法和乘法是可交換的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。
加法和乘法符合結合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|| = |X||Y|+|X||Z|。
無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 X 與 Y 皆非空而其中之一為無限集，則|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}.
記 2 ^ | X | 是 X 的冪集之基數。由對角論證法可知 2 ^ | X | > | X |，是以並不存在最大的基數。事實上，基數的類是真類。
其他性質
還有些關於指數的有趣性質：
|X|^0 = 1 (很奇怪地 0^0 = 1)。
0^|Y| = 0 若 Y 非空。
1^|Y| = 1。
|X| ≤ |Y| 則 |X||Z| ≤ |Y||Z|。
若 |X| 和 |Y| 均為有限集且大於 1，而 Z 是無窮集，則 |X||Z| = |Y||Z|。
若 X 是無窮集而 Y 是非空的有限集，則 |X||Y| = |X|。
基數序列及連續統假設
基數對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是
，康托爾稱下一個是
，相類似的，還定義了如下一個序列：
基數注意
。連續統假設猜想，就是
。
連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理）獨立的。
基數更一般的假設，即
。
基數廣義連續統假設，就是對所有無窮基數
，都不存在界乎
與
之間的基數。
基數（語言學）
在語言學中，基數是對應量詞的“數”，例如在以下句子中的“一”及“四”：
有一個橙，有四個柑。
序數是對應排列的“數”，例如在以下句子中的“一”及“二”：
這人一不會打字，二不懂速記，所以不可以做秘書。
在某些語言如英語，基數one,two,three和序數first,second,third是不同的。
基數（軍事）
軍事術語基數是彈藥等軍械物資供應的一種計算單位，基數量是對單項裝備或人員規定的物資數量或重量，對於槍炮即為彈藥基數，常用於儲備、請領、報銷、補充彈藥。例如：7.62毫米半自動步槍的一個彈藥基數量為200發槍彈，一門82迫擊炮一個彈藥基數是120發炮彈，100人份的戰救藥物一個基數量為9千克。
基數量的標準由軍隊高層根據本國工業生產水平、軍隊的攜行能力、武器裝備的戰術技術性能和一般的消耗規律統一規定。
使用術語基數的優點在於簡單化、規範化，便於計算、供應、記憶和保密，方便部隊指揮和保障：便於上級下達軍事命令、指示和其他行文，也便於各級軍械部門計算彈藥數量，報告彈藥保障程度。
質疑
對基數比較數量方法的質疑
以下是某位網友對等勢理論的質疑。這位朋友有大膽質疑的精神當然值得嘉獎，但是以本人愚見，就其內容來說，存在諸多問題，形式或者格式也不夠嚴謹清楚。請有興趣的讀者先閱覽以下的質疑部分。有一定水平的讀者，如有興趣，可以試著自行推翻這一段質疑，還可以想一想這些錯誤形成的原因是什麼。本人下次可能會在後面附上我對這段“反駁”的“反駁”。
“質疑”開始：
基數比較的方法是一一對應，即兩集合如果能建立起一一對應，則該兩集合擁有相同基數。一一對應的方法會導致部分的數量與全體的數量對應，這樣做的後果一是導致實無窮，二是導致代數基本不等式不成立。對基數比較方法的質疑主要源於對實無窮的質疑。實無窮是在哲學上極其具有爭議的詞項，潛無窮與實無窮之爭可以上溯到亞里士多德；不在少數的哲學家和數學家僅承認潛無窮或者自然數集的無窮基數\omega，其中一位代表人物是構造性學派的創始人---布勞威爾。因此，對集合所含元素多少的比較和是否存在實無窮一直存在爭議，常見於數學哲學著作。部分數學家認為選擇公理（Axiom of Choice, AC）即意味著實無窮的存在，另一部分數學家和哲學家否認實無窮，常選擇ZF公理系統而不是ZF+AC系統作為集合論的基礎，有時出於實際需要會選擇AC的某些弱形式，比如依賴選擇原則（DC）。對實無窮和一一對應的反駁最強有力的理由在於：任何人都無法重複無限步驟。常見的對實無窮和一一對應的反駁有：
等勢的概念
設A、B是兩個集，如果存在一個A到B的一一對應，那么稱集A與集B等勢（或相似、或對等、或等奇數），記為A～B，規定空集跟自身等勢。
而等勢的概念是我們建立勢的理論從而對集合進行比較的基礎。
例如，正偶數集合和自然數集，ψ:n->2n，即可使得兩集合之間建立一一對應，因此他們是等勢的。”
反駁：
對等的方法，只能在有限集比較中有效。擴展到無限集是不可信的。
例：“問：某班學生人數與教室的凳子數哪個多？最笨但也最顯然的方法是規定每個學生都去坐在凳子上，而且一個學生只能坐一張凳子。最後，如果有學生沒坐到凳子，那么便是學生多。如果最後有凳子空著，那么便是凳子多。”
如果是有限數量，可以用一對一的方法比較，無限數量，不行。
假設來個副校長，要求每兩個學生坐一個凳子，然後他檢查了教室一，教室2，教室三......他看到的每個教室都是如此，後面的教室他認為不用檢查了（或根本不可能檢查完——無窮的概念），於是他宣布，本學校凳子數量，正好是學生數量的一半。
第二天，又來個副校長，要求每個學生坐一個凳子，也用了第一個副校長同樣的方法，正好等於學生數量。
兩位自以為是的校長都有可能是對的，也可能是錯的，方法不對。
在有限集的比較過程中，關鍵不在建立了怎樣的對應關係，關鍵在於我們要比較到最後，至少一個集合結束了，而另一個集合中元素數量已經超過對比集合數量，而且還沒結束，我們才能證明一個集合建立的對應關係比另一個集合數量多。
自然數集中可以抽出偶數集，跟偶數集完全一一對應，而自然數集還有剩餘元素，因此我們可以得到結論：自然數集比偶數集多。
對反駁的解釋，請各位專家指正：
這個反駁是錯誤的，偶數和自然數從無限集合的角度看去其實都是一樣的集合，僅僅是取的單位1不同。當取無窮時，偶數和自然數是可以一一對應的，這個就是有限集和無限集合的不同之處。我們討論基數的大小必須在無限集的角度去討論。
康托爾對角線
證明實數區間[0, 1]中所有的實數組成的集合是不可列集。
其實只要證明(0,1]區間的實數集是不可列的。如果它是可列的，說明其中所有的實數均可排列成一數列t1,t2,...,tn,...，只有這樣，它才能對等於自然數集。好，這時我們將(0,1]中的實數用十進制的無限小數表示：
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0～9這十個數字中的某一個。
但是我們可以構造一個小數a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9這十個數字中的某一個，但我們讓每個ai都不等於上述實數列中的tii，也就是讓第i位的數字跟數列中第i行第i個數字不同。這是可行的，因為我們用的是十進制小數，還剩下9個不同數字可供選擇呢。
當我們構造好了這樣的一個小數之後，我們發現它實際上跟上述小數列中的任何一個都不相等。這就造成了邏輯上的矛盾，你說已經把所有小數都列出來了，但是我卻發現至少我構造的這個小數，你還沒有羅列出來。就算你亡羊補牢，把我這個也補充進去，但是我還是可以根據同樣規則又構造出另一個。所以，只能說明實數是無法跟可列集形成一一對應的，也就是前面的假設是錯誤的。
因此[0, 1]區間的實數不是可列集。同樣，取掉0，1兩個數之後的(0,1)區間的實數也不是可列集。
反駁：
無限集都是不可寫全的，比如跟本不能寫出一個(0,1)之間小數位最長的有理數，因此本證明的假設條件不成立，其它一切都無效。除非新構造的不是實數，否則只能證明假設將所有實數列出的假設不成立。所以康托爾對角線證明法不成立。而事實上，如果允許等勢的概念存在，所有無窮集，都等勢。總是你有一個元素，我就能拿出一個元素對應，同樣也都可以你拿1個我拿2個，或相反，你拿2個我拿1個，都是能永遠對應的，沒有盡頭。
對反駁的解釋，請各位專家指正：
假定我們對於自然數集合，它的基數是N0，我們可以在這個集合中任意兩個自然數之間插入一個數，這個數既可以是有理數也可以是無理數。如果這個插入的數是有理數，它構成的集合仍然屬於N0，但是如果插入的這個數是無理數，那么這個元素本身不再屬於N0 。 他將構建一個比NO大的基數的集合。
“質疑”到此結束。
對此質疑的反駁暫時留給讀者。
所謂“反駁”的一個基本錯誤
康托爾對角線證明中的“可列”，是指某些無限集中的所有數可以一個一個地排列，但絕不是要你把它們都“寫”出來。正整數集、有理數集等許多無限集都是可列的，這類無限集叫“可列集”、“可數集”。康托爾對角線證明說明實數集的基數比自然數集、有理數集的基數大。
另外，“(0,1)之間小數位最長的有理數”是可以寫出來的，比如1/3對應的小數就是。首先需要明確，無限小數的小數位是已經排列好的，從十分位、百分位、千分位、萬分位……一直排下去。因此，無限小數的小數位的長度就是自然數集合的基數。於是，每一個無限小數（循環或不循環）的小數位長度都相等，每一個無限小數都是“小數位最長的有理數”。——所謂“小數位最長”，不等於你可以要求一個小數擁有實數集基數長度的小數位。
