四元數域

d是實數，稱為四元素的係數。 四元素的研究，推動了向量代數的發展。 這就是為什麼只稱二維向量的為複數，而不稱其他向量為複數的道理。

四元數簡介

複數可以表示平面向量，在物理上有著廣泛套用。於是人們很自然地想到，能不能仿照複數複數集找到“三維複數”，用以表示空間向量呢?愛爾蘭的數學家哈密頓首先發現，要想在實數基礎上建立三維複數，使它具有實數和複數的各種運算性質，這是不可能的。他進而研究“四維複數”，笪以所謂四元數，並於1857的發表了《四元數講義》。他逝世後的第二年，即1866年出版了《四元數原理》。
複數僅有兩個單位1與i，而四元數有四個單位1, i, j, k，一般的四元數的形式是
a+bi+cj+dk,
這裡，i, j, k是空間笛卡兒直角坐標系中三個坐標軸上的單位向量，類似於複數的虛數單位；a, b, c, d是實數，稱為四元素的係數。
兩個四元數相等被規定為對應係數分別相等。

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四元數的加減法，和一般複數的加減法相同，也滿足交換律和結合律。四元數的乘法滿足結合律但並不滿足交換律，這是和實數、複數最顯著的不同，也正因為如此，四元數集不能構成數域，人們稱它為廣域。
四元素的研究，推動了向量代數的發展。美國著名的物理學家麥克斯韋是哈密爾頓的學生。他在掌握了四元數理論後，利用向量分析等工具建立起了著稱於世的電磁理論。
19世紀，數學家們證明了：對於實數域上的n維向量空間，當n>2時 ，無法定義乘法運算，使它成為域。這就是為什麼只稱二維向量的為複數，而不稱其他向量為複數的道理。當n>2時，n維向量空間不再稱為數域而稱為超複數系統。