同調論
正文
代數拓撲學中的一個主要組成部分，研究與同調概念有關的課題。考慮帶有方向的曲面（塊）與曲線（段）,如圖1、圖2中的圓盤均由鏇轉箭頭定向。圓周Z與Z┡是比D與D┡低一維的圖形,作為曲線，它們各按所標的箭頭定向。規定D的邊緣為Z，記作嬠D＝Z；對於D┡,則應有嬠D┡=-Z┡。無底圓筒 C與它的上下邊界W1與W0按所標箭頭定向後有嬠C＝W1-W0（圖3）。在圖 4環面T中，圓圈Z為曲面塊 A的邊緣，嬠A＝Z，這時稱閉曲線Z在環面T上同調於零，記作Z～0。閉曲線W在T上不同調於零，但嬠B=W-W1,這時稱閉曲線W同調於W1，記作W～W1。同調概念就是在這種定向圖形之間的邊緣關係上建立起來的。
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的曲面S上,α、с、d都不同調於零,b)～0，α不同調於с、d中的任何一個，但с～d。 將圖6
中圓盤邊界上的每一對對徑點（諸如A與A┡,B與B┡）粘合,得到的曲面p叫做射影平面。
與
在p中為同一定向圓圈z。可以看出,在p中有z+z=2z～0，但z不同調於零。 H.龐加萊從1895年起，為了對同調概念做一般的討論,引進了可剖分為復形的空間,從此產生了組合拓撲學。
n維單形 0維單形是一個點，一維單形是一條線段，二維單形是一個三角形，三維單形是一個四面體,n維單形是一個具有n+1個頂點的廣義四面體。
定向單形 除0維單形不給定向外,其他維的單形可以有兩個定向。例如，一維單形的定向可以用從起點到終點的箭頭給出，二維單形的定向可以用一個鏇轉方向給出(圖7
),等等。一般對於n維單形有兩個定向,可以用頂點的順序來給出它的定向。彼此相差一個偶排列的兩個順序代表同一個定向。例如，線段AB的一個定向可以用(A,B)表示,另一個定向則可用(B,A)表示;三角形ABC的一個定向可用(B,A,C)或(C,B,A)或(A,C,B)表示,另一個定向可用(B,C,A,)或(C,A,B)或(A,B,C)表示。 單純復形 是由有限個單形很好地拼湊起來而組成的。例如，圖8
之a這個單純復形是由4個0維單形A,B，C，D；4個一維單形AB，BD，CD，BC和1個二維單形BCD按照圖8之a中所畫的關係拼湊而組成的。圖8之b這個單純復形是由6個0維單形A，B，C，A┡，B┡,C┡,12個一維單形AB,BC,CA,A┡B┡,B┡C┡，C┡A┡，B┡C，A┡C，A┡B，BB┡，AA┡，CC┡，6個二維單形AA┡B，A┡BB┡，BB┡C，B┡CC┡，CC┡A┡，CA┡A按照圖8之b中所畫的關係拼湊而組成的。 單純復形的n維鏈 形如
的線性組合叫一個n維鏈,其中{
}取遍單純復形K的所有單形，且每個單形取好了定向（0維單形不取定向）,αi為整數（即線性組合中的每一項是K中的一個n維定向單形，且附一個整係數）。兩個n維鏈之和定義為一個n維鏈，其每項的係數是兩個鏈的相應項的係數之和。容易驗證:K的所有的n維鏈組成一個交換群,這個交換群叫K的n維鏈群，記作Cn(K)。例如，圖8之a 中的單純復形,3(A,B)+2(B,C)-(C,D)-5(B,D)為一個一維鏈;圖8之b中的單純復形,4(A,A┡,B)-2(B,B┡,C)+(C，A,A┡)為一個二維鏈。 邊緣運算元 規定0維單形的邊緣為零,一維定向單形(A,B)的邊緣為B-A，二維定向單形(A,B,C)的邊緣為(B,C)-(A,C)+(A,B),三維定向單形(A,B,C,D)的邊緣為(B,C,D)-(A,C,D)+(A,B,D)-(A,B,C),等等。可類似地定義n維定向單形的邊緣。以符號嬠寫在定向單形的前面表示它的邊緣。對於每一個n維鏈
，規定它的邊緣
（即先取它的每一個定向單形的邊緣再乘上它的原來係數然後求和）。不難看出,一個n維鏈的邊緣是一個n-1維鏈。由此得到從n維鏈群到n-1維鏈群的同態，這個同態叫做（下）邊緣運算元，記作嬠:Cn(K)→Cn-1(K)。邊緣運算元具有嬠嬠=0的性質。 n維閉鏈 滿足嬠x=0的n維鏈x叫n維閉鏈。例如,圖8a中的單純復形，一維鏈(C,D)-(B,D)+(B,C)就是一個一維閉鏈。單純復形K的所有n維閉鏈所組成的交換群叫K的n維閉鏈群，記作Zn(K)。
n維邊緣鏈 如果一個n維鏈是某一個 n+1維鏈的邊緣,則稱此鏈為n維邊緣鏈（即一個n維圖形是n+1維圖形的邊緣）。例如圖8a中的單純復形，一維鏈(C,D)-(B,D)+(B,C)=嬠(B,C,D)就是一個一維邊緣鏈。單純復形K的所有n維邊緣鏈所組成的交換群叫K的n維邊緣鏈群，記作Bn(K)。由於邊緣鏈一定是閉鏈，因而Bn(K)是Zn(K)的子群。
n維同調群 由於Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做單純復形K的n維（下）同調群，記作Hn(K)。Hn(K)中的每一個元素叫做一個n維同調類。如果兩個n維閉鏈zń,z怽的差為一個邊緣鏈時,就叫zń與z怽同調。如果zn是邊緣鏈，則稱zn同調於零。例如,圖8b中的單純復形,2個一維閉鏈(A,B)+(C,A)+(B,C)，(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而這兩個閉鏈同調（而它們都不同調於零）。同調群 Hn(K)的秩叫做K的n維貝蒂數。如果在n維鏈群的定義中,用任意的一個交換群G中的元素代替整數，可以得到以G為係數的n維鏈群 Cn(K;G)。相似地有以G為係數的n維邊緣群Bn(K;G),n維閉鏈群Zn(K;G)。由此定義以G為係數的n維同調群Hn(K;G)。
多面體 單純復形 K的全體單形的並集叫做一個多面體，記作│K│。對於多面體的同調群Hn(｜K｜;G)可以用Hn(K;G)來定義，即令Hn(｜K｜;G)=Hn(K;G)。
單純映射 給定了兩個單純復形K，L,且指定了K的每一個頂點（0維單形）到L的某個頂點的一個對應，並把K中的屬於同一個單形的所有頂點對應到L的同在一個單形中的頂點，這個對應叫從K到L的單純映射。單純映射ƒ:K→L把 K中的每一個定向單形(頂點的一個順序)映射到L中的一個定向單形（得到對應頂點的一個順序,若有兩個頂點的像重合，則理解為對應到0）,由此產生了一個從Cn(K;G)到 Cn(L;G)的同態，並且可以證明它把Zn(K;G)映射到Zn(L;G)，Bn(K;G)映射到Bn(L;G)。從這個同態可以導出一個從Hn(K;G)到Hn(L;G)的同態。
連續映射導出的同態 給了兩個多面體|K|、|L|之間的一個連續映射F：│K│→│L│，可以將K適當重分成另一復形K┡,並用一個單純映射去逼近F。利用這個單純映射導出的同調群之間的同態得到Hn(│K┡│；G)到Hn(│L│；G)的同態，並且可以證明，Hn(│K┡│；G)與Hn(|K|;G)自然地同構。 於是記此同態為Fn：Hn(|K|;G)→Hn(│L│;G)。
上同調群 G為任一交換群，Hom(Cn(K)，G)為所有從Cn(K)到G的群同態所組成的群，這個群叫做K的以G為係數的 n維上鏈群，記作Cn(K；G)。利用K 的邊緣運算元嬠:Cn(K)→Cn-1(K)可得對偶同態δ:Cn-1(K;G)→Cn(K;G)。定義如下:設ƒ∈Cn-1(K；G),規定δƒ=ƒ嬠:Cn(K)→G。這個δ叫上邊緣運算元,具有δδ=0的性質。與同調群的定義相似，可以定義以G為係數的上閉鏈群Zn(K;G)，上邊緣鏈群Bn(K;G),上同調群Hn(K;G)。當G為整數加群Z時，省去符號Z，簡單記為 Cn(K)，Zn(K),Bn(K)，Hn(K)，等等。對於連續映射F：│K│→│L│,利用單純映射去逼近，可得到同態
。上同調群的構造可以由同調群完全確定。當多面體│K│為定向流形時，同調群和上同調群之間還有對偶關係（流形的龐加萊對偶定理）,即Hn(｜K｜;G)同構於Hq-n(│K│;G)，其中q為流形│K│的維數。 J.W.亞歷山大在1915年證明了多面體的同調群的拓撲不變性，即如果兩個多面體│K│，│L│同胚，那么這個同胚誘導它們的上同調群、同調群的同構。實際上，如果│K│，│L│倫型相同，其同倫等價也誘導它們的上同調群、同調群的同構。
利用同調群可以解決不少幾何問題。例如，布勞威爾不動點定理（見不動點理論），可以找到歐拉示性數與貝蒂數之間的關係式：
(K)即K的歐拉示性數。從而證明了歐拉示性數是│K│的拓撲不變數。 單純復形的整係數同調群是個有限生成的交換群。因此，它同構於
,其中Z代表整數加群，θ(1,n)，…，θ(τn，n)為一串自然數，每個可整除後一個,嘰表示直和。前面Z的個數即為n維貝蒂數;後面這串有限群的階數θ(1,n),…,θ(τn，n)稱為 n維撓係數。確定一個單純復形（及其多面體）的各維貝蒂數與撓係數，也就算出了同調群。 簡單的單純復形的同調群的計算,可以通過叫做"擠到邊上去"的方法直觀地解決。一般單純復形同調群的計算，可以用矩陣變換的方法經有限多次的算術運算解決，不過具體實現這種計算是非常困難的。
帶係數群G的同調群的構造，可由整係數同調群與G按照“泛係數”公式來求。上同調群的計算也有其相應的公式。
同調論的公理 S.艾倫伯格和N.E.斯廷羅德提出了同調群、上同調群滿足的公理，並證明了在多面體的情形下滿足公理的同調群、上同調群是惟一的。
在一般的拓撲空間上引進同調群主要有兩種方式。利用有序單形映射到拓撲空間，來定義這個拓撲空間的同調群，稱為這個拓撲空間的奇異同調群；利用單純復形來逼近一個拓撲空間，用極限來定義這個拓撲空間的同調群，稱為這個拓撲空間的切赫同調群。在緊多面體的情況，這兩種同調群都同構於按單純剖分得到的同調群。
在以某種環為係數的上同調群中可以引入乘法使之成為上同調環。為了更好地利用上同調群，在其上引入了所謂上同調運算的額外結構，例如斯廷羅德冪，龐特里亞金冪等等。由斯廷羅德冪發展成為斯廷羅德代數的研究，大大豐富了同調論的內容。
參考書目
江澤涵著：《拓撲學引論》,上海科學技術出版社,上海，1978。
R.M. Switzer,Algebraic Topology-Homotopy and homology, Springer-Verlag, New York, 1975.
