共角定理

共角定理

共角定理(外文名Common angle theorem)內容指的是若兩個三角形有一組對應角相等或互補,則它們的面積比等於對應兩邊乘積的比。別稱鳥頭模型、鳥頭定理。

基本信息

定理內容

共角定理 共角定理

內容:若兩三角形有一組對應角相等或互補,則它們的面積比等於對應兩邊乘積的比。

即:若△ABC和△ADE中,

共角定理 共角定理

∠BAC=∠EAD ,則S△ABC÷S△AED=

推導過程

共角定理 共角定理

證明 :

法一:

共角定理 共角定理

由三角形面積公式S= ×a×b×sinC可推導出

S△ABC=1/2×AB×AC×sinA

S△ADE=1/2×AD×AE×sinA

∴S△ABC:S△ADE=AB×AC:AD×AE

證畢。

法二:

看到面積可作垂直做鋪墊。

共角定理 共角定理

如右圖,分別過B、D點作AC垂線DF、BG交AC於點F、G。

則DF∥BG。

∴∠ADF=∠ABG

∵S△ABC:S△ADE=AC×BG:AE×DF

∠ADF=∠ABG

∴AD:AB=DF:BG

∴S△ABC:S△ADE=AB×AC:AD×AE。

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