一、知識要點
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二次的整式方程。
一般形式為：ax^2+bx+c=0
, (a≠0)
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是國中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基礎。
一元二次方程的一般形式為：ax^2;+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2 的整式方程。
二、方法、例題精講
解一元二次方程的基本思想方法是通過“增次”將它化為多個一元一次
方程。一元二次方程有四
種解法：
1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、分解因式法。
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的 方程，其解為x=±√n+m .
例1．解方程（1）(x-2)^2
=9（2）9x^2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)^2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(x-2)^2=9
∴x-2=±√9
∴x-2=±3
∴x1=3+2 x2=-3+2
∴x1=5 x2= -1
（2）解： 9x^2;-24x+16=11
∴(3x-4)^2=11
∴3x-4=±√11
∴x=﹙ 4±√11﹚/3
∴原方程的解為x1=﹙4﹢√11﹚/3,x2= ﹙4﹣√11﹚/3
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數c移到方程右邊：ax^2+bx=-c
將二次項係數化為1：x^2+ba/x = - c/a
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2= - c/a+( b/2a)^2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+b/2a )^2 = -c/a﹢﹙b/2a）^2;
當b^2-4ac≥0時，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚^2;
∴x=﹛﹣b±[√﹙b^2;﹣4ac﹚]﹜/2a(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解：將常數項移到方程右邊 3x^2-4x=2
將二次項係數化為1：x^2-﹙4/3﹚x= ?
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x^2-﹙4/3﹚x+( 4/6）^2=? +(4/6 ）^2
配方：(x-4/6)^2= ? +(4/6 )^2
直接開平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )^2 ]
∴x= 4/6± √[? +(4/6 )^2 ]
∴原方程的解為x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b^2-4ac的值，當b^2-4ac≥0時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x^2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/(2a)
∴原方程的解為x?=,x?= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x^2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x^1=5,x^2=-2是原方程的解。
(2)解：2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x^2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結：
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在套用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項係數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的套用，是國中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學）
（1）4(x+2)^2-9(x-3)2=0 （2）x^2+(2-)x+ -3=0
（3） x^2-2 x=- （4）4x^2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
（3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)^2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x^2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x^2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1=(m+2) /2,x2=(m+3)/2.
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=3/2是原方程的解。
例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q<0時，△<0此時原方程無實根。
說明：本題是含有字母係數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母取值的要求，必要時進行分類討論。
練習：
（一）用適當的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列關於x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
練習參考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
測試
選擇題
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數，一次項係數和常數項之和等於零，那么方程必有一個根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、無實根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不對
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案與解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5, 注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。 2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1時，方程成立，則必有根為x=1。
4．分析：一元二次方程 ax^2+bx+c=0若有一個根為零，
則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.
另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！ 5．分析：原方程變為 x^2;-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。 7．分析：2x^2=0.15 = x=± 注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。 8．分析：兩邊乘以3得：x^2-3x-12=0，然後按照一次項係數配方，x^2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理為：(x-)2= 方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項係數-b的一半的平方。9．分析：x^2-2x=m, 則 x^2-2x+1=m+1 則(x-1)^2=m+1. 中考解析三、考題評析 1．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那么k=__________. 評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。 2．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方根，即可選出答案。
四、課外拓展
在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他們做出(2）；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。 埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax^2=b。 在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中之一。 公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公式。在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次 給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的 數學家們為了解三次方程而開始套用複數根。 韋達（1540-1603）除已知一元方程在複數範圍內恆有解外，還給出根與係數的關係。 我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學家還在方程的研究中套用了內插法。
