通俗方法
十字相乘法例：
a²x²+ax-42
首先，我們看看第一個數，是a²，代表是兩個a相乘得到的，則推斷出(a×+？）×(a×+？），
然後我們再看第二項，+a這種式子是經過合併同類項以後得到的結果，所以推斷出是兩項式×兩項式。
再看最後一項是-42，-42是-6×7或者6×-7也可以分解成-21×2或者21×-2。
首先，21和2無論正負，通過任意加減後都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除後者。
然後，再確定是-7×6還是7×-6。
(a×-7）×(a×+6）=a²x²-ax-42(計算過程省略）
得到結果與原來結果不相符，原式+a變成了-a。
再算：
(a×+7）×（a×+（-6））=a²x²+ax-42
正確，所以a²x²+ax-42就被分解成為（ax+7）×(ax-6），這就是通俗的十字相乘法分解因式。
例題解析
例1
把2x²-7x+3分解因式。
分析：先分解二次項係數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然後交叉相乘，求代數和，使其等於一次項係數。
分解二次項係數(只取正因數因為取負因數的結果與正因數結果相同！）。
2=1×2=2×1；
分解常數項：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
13
╳
21
1×1+2×3=7≠-7
11
╳
23
1×3+2×1=5≠-7
1-1
╳
2-3
1×(-3)+2×(-1)=-5≠-7
1-3
╳
2-1
1×(-1)+2×(-3)=-7
經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘後，兩項代數和恰等於一次項係數-7。
解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地，對於二次三項式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1c1
╳
a2c2
a1c2+a2c1
按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等於二次三項式ax²+bx+c的一次項係數b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像這種藉助畫十字交叉線分解係數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
把5x²+6xy-8y²分解因式.
分析：這個多項式可以看作是關於x的二次三項式，把-8y²看作常數項，在分解二次項及常數項係數時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解後，經過觀察，選取合適的一組，即
12
╳
5-4
1×(-4)+5×2=6
解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解為兩個關於x，y的一次式。
例3
把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.
分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式十字相乘法，只有先進行多項式的乘法運算，把變形後的多項式再因式分解。
問：以上乘積的因式是什麼特點，用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變為2(x-y)，它是第一個因式的二倍，然後把(x-y）看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關於(x-y）的二次三項式，就可以用十字相乘法分解因式了。
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1-2
╳
21
1×1+2×(-2）=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：將元x、y換成（x+y），以（x+y）為元，這就是“換元法”。
教學重點
重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項係數不是1的二次三項式分解因式。
教學難點
難點：靈活運用十字相乘法分解因式。
原理
一個集合中的個體，只有2個不同的取值，部分個體取值為A，剩餘部分取值為B。平均值為C。求取值為A的個體與取值為B的個體的比例。假設總量為S，A所占的數量為M，B為S-M。
則：[A*M+B*(S－M）]/S=C
A*M/S+B*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)
上面的計算過程可以抽象為：
A^C-B
^C
B^A-C
這就是所謂的十字相乘法。X增加，平均數C向A偏，A-C(每個A給B的值）變小，C-B(每個B獲得的值）變大，兩者如上相除=每個B得到幾個A給的值。即比例，以十字相乘法形式展現更加清晰。
注意事項
第一點：用來解決兩者之間的比例問題。
第二點：得出的比例關係是基數的比例關係。
第三點：總均值放中央，對角線上，大數減小數，結果放在對角線上。
判定
對於形如ax²+bx+c的多項式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式時，可以使用Δ=b²-4ac進行判定。當Δ為完全平方數時，可以在整數範圍該對多項式進行十字相乘。
具體套用
雙十字相乘法是一種因式分解方法。對於型如Ax²;+Bxy+Cy²;+Dx+Ey+F的多項式的因式分解，常採用的方法是待定係數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題，若採用“雙十字相乘法”(主元法），就能很容易將此類型的多項式分解因式。
例：3x²;+5xy－2y²;+x+9y－4=(x+2y－1）(3x－y+4）
因為3=1×3，－2=2×(－1），－4=(－1）×4，
而1×(－1）+3×2=5，2×4+(－1）(－1）=9，1×4+3×(－1）=1
要訣：把缺少的一項當作係數為0，0乘任何數得0，
例：ab+b²+a－b－2
=0×1×a²+ab+b²+a－b－2
=(0×a+b+1）(a+b－2）
=(b+1）(a+b－2）
提示：設x²=y，用拆項法把cx²拆成mx²與ny之和。
例：2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1）(y+5x+2）
=(2x²+3x+1）(x²+5x+2）
=(x+1）(2x+1）(x²+5x+2）
分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對於某些二元二次六項式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f），我們也可以用十字相乘法分解因式。
例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形為
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3），
可以看作是關於x的二次三項式．
對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為
即
-22y²+35y-3=(2y-3）(-11y+1）．
再利用十字相乘法對關於x的二次三項式分解
所以
原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕
=(x+2y-3）(2x-11y+1）．
(x+2y）(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3）(2x+1）=2x2-5x-3；
(2y-3）(-11y+1）=-22y²+35y-3．
這就是所謂的雙十字相乘法．也是俗稱的“主元法”
用雙十字相乘法對多項式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：
⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一個十字相乘圖(有兩列）；
⑵把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第一列、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．
我們把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n為非負整數）的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x），g(x），…等記號表示，如
f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，
當x=a時，多項式f(x）的值用f(a）表示．如對上面的多項式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0；
f(-2）=(-2）²-3×(-2）+2=12．
若f(a)=0，則稱a為多項式f(x）的一個根．
定理1(因式定理）若a是一元多項式f(x）的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x）至少有一個因式x-a．
根據因式定理，找出一元多項式f(x）的一次因式的關鍵是求多項式f(x）的根．對於任意多項式f(x），要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x）的係數都是整數時，即整係數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根。
怎樣進行分解因式
例7x+(-8x)=-x
解：原式=（x+7）（x-8）
例2
-2x+（-8x）=-10x
解：原式=（x-2）（x-8）
例3、
分析：該題雖然二次項係數不為1，但也可以用十字相乘法進行因式分解。
因為
9y+10y=19y
解：原式=（2y+3）（3y+5）
例4、因式分解。
分析：因為
21x+(-18x)=3x
解：原式=（2x+3）（7x-9）
例5、因式分解。
分析：該題可以將（x+2）看作一個整體來進行因式分解。
因為
-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）
解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]
=（2x-1）（5x+8）
例6、因式分解。
分析：該題可以先將（）看作一個整體進行十字相乘法分解，接著再套用一次十字相乘。
因為
-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a
解：原式=[-2][-12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
