方程形式
一般式
一般地,任何一個關於x的一元二次方程經過整理,都能化成如ax+bx+c=0 (a≠0,且a,b,c是常數)的形式。這種形式叫一元二次方程的一般形式。一次項係數b和常數項c可取任意實數,而二次項係數a必須是不等於0的實數。要先確定二次項係數,再確定一次項係數和常數項,必須先把一元二次方程化成一般形式。
變形式
![一元二次方程](/img/b/d59/nBnauM3X2MzN2kjN1YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(a、b是實數,a≠0);
![一元二次方程](/img/8/2d9/nBnauM3XxYDMzEzN1YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
(a、c是實數,a≠0);
![一元二次方程](/img/b/1a3/nBnauM3X0EDO1kTN2UjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL1YzLxUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
(a是實數,a≠0).
註:a≠0這個條件十分重要.
配方式
![一元二次方程](/img/2/a20/n5GcuM3XzQTN3gTN2kDMzkTMzQTM5IDMxETMzQTNwAzMxAzL5AzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
兩根式
![一元二次方程](/img/b/fbf/n5GcuM3X0MDN1cTN4kDMzkTMzQTM5IDMxETMzQTNwAzMxAzL5AzL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
求解方法
開平方法
形如x=p或(nx+m)=p(p≥0)的一元二次方程可採用直接開平方法解一元二次方程。
![一元二次方程](/img/9/8c1/nBnauM3XyQzNxATO1YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
如果方程化成 的形式,那么可得 。
![一元二次方程](/img/5/e47/nBnauM3XyEzM3cTO1YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
如果方程能化成 (p≥0)的形式,那么 ,進而得出方程的根。
注意:
①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數。
②降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。
③方法是根據平方根的意義開平方。
配方法
步驟
將一元二次方程配成(x+m)=n的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步驟:
①把原方程化為一般形式;
②方程兩邊同除以二次項係數,使二次項係數為1,並把常數項移到方程右邊;
③方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方;
④把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數;
⑤如果右邊是非負數,即可進一步通過直接開平方法求出它的解,如果右邊是一個負數,則判定此方程無實數解。
配方法的理論依據是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²
配方法的關鍵是:先將一元二次方程的二次項係數化為1,然後在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方。
舉例
例一:用配方法解方程 3x-4x-2=0
解:將常數項移到方程右邊 3x-4x=2
![一元二次方程](/img/7/aa6/nBnauM3X0EDOzkTO1YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
將二次項係數化為1:
![一元二次方程](/img/0/f06/nBnauM3XwcDM5EDM2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL1EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:
![一元二次方程](/img/f/12c/nBnauM3XxUjN4QDM2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
配方:
![一元二次方程](/img/a/23a/nBnauM3X0gzNxMTM3UjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL1YzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
直接開平方得:
![一元二次方程](/img/1/f76/nBnauM3XwMzNwkzM2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
∴ , .
![一元二次方程](/img/1/f76/nBnauM3XwMzNwkzM2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
∴原方程的解為 , .
求根公式法
步驟
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為:
![一元二次方程](/img/d/14b/nBnauM3XzQDN0QjN4QjMxIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL0IzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
①把方程化成一般形式 ,確定a,b,c的值(注意符號);
![一元二次方程](/img/a/19f/nBnauM3X3QzNxMDN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
②求出判別式 的值,判斷根的情況;
![一元二次方程](/img/0/1f8/nBnauM3X4IDO5QDN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
③在 (註:此處△讀“德塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式 進行計算,求出方程的根。
推導過程
一元二次方程的求根公式導出過程如下:
![一元二次方程](/img/1/3b4/nBnauM3X3gTMxMjM3UjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL1YzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/e/36f/nBnauM3X3ATO0gDN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/8/dd1/nBnauM3XzUTNxkjM3UjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL1YzLxgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
(為了配方,兩邊各加 )
![一元二次方程](/img/d/f26/nBnauM3X1YDM5cTN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/2/a20/n5GcuM3XzQTN3gTN2kDMzkTMzQTM5IDMxETMzQTNwAzMxAzL5AzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/e/f6d/nBnauM3XyYTNwEjN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/6/298/nBnauM3X3YDNwQjN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
(化簡得)。
一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。
一元二次方程中的判別式:根號下b²-4ac
應該理解為“如果存在的話,兩個自乘後為的數當中任何一個”。在某些數域中,有些數值沒有平方根。
推導過程2
一元二次方程的求根公式導出過程如下:
![一元二次方程](/img/1/3b4/nBnauM3X3gTMxMjM3UjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL1YzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/a/651/nBnauM3XzIDNycjN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/c/e72/nBnauM3XwETOxkjN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLyQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/6/5ce/nBnauM3X2AzN2IzN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL4EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/d/f7d/nBnauM3X0cTN3UzN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/b/c06/nBnauM3X4MjM0ADO2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
a的取值範圍任意,c取值範圍任意,b=(a+1)√c。從a b c 的取值來看可出1億道方程以上,與因式分解相符合。
運用韋達定律驗證:
![一元二次方程](/img/0/be0/nBnauM3X0MjM4QDO2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/d/f7d/nBnauM3X0cTN3UzN2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![一元二次方程](/img/0/fba/nBnauM3XyMDN4cDO2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
![圖解法](/img/6/8fc/nBnauM3X0EDOzITO2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進行了降次,把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題(數學化歸思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步驟:
①移項,使方程的右邊化為零;
②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;
③令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;
④解這兩個一元一次方程,它們的解就都是原方程的解。
圖像解法
![一元二次方程](/img/d/14b/nBnauM3XzQDN0QjN4QjMxIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL0IzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
一元二次方程 的根的幾何意義是二次函式 的圖像(為一條拋物線)與x軸交點的X坐標。當 時,則該函式與x軸相交(有兩個交點);當 時,則該函式與x軸相切(有且僅有一個交點);當 時則該函式與x軸相離(沒有交點)。
![一元二次方程](/img/d/14b/nBnauM3XzQDN0QjN4QjMxIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL0IzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
另外一種解法是把一元二次方程 化為:
![一元二次方程](/img/a/230/nBnauM3XzETNwcTO2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
的形式。
![一元二次方程](/img/5/8b8/nBnauM3X1MzN2gTO2YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL3czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
則方程的根,就是函式 和 交點的X坐標。
通過作圖,可以得到一元二次方程根的近似值。
計算機法
在使用計算機解一元二次方程時,和人手工計算類似,大部分情況下也是根據下面的公式去解
![一元二次方程](/img/1/cda/nBnauM3X4MzM5IDM3YjNyIzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL2YzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
可以進行符號運算的程式,比如軟體Mathematica,可以給出根的解析表達式,而大部分程式則只會給出數值解(但亦有部分顯示平方根及虛數)。
根與係數的關係
韋達定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中,設兩個根為x1和x2,則:
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
證明
設x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個解,則有:
a(x-x1)(x-x2)=0
∴ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通過對比係數可得:-a(x1+x2)=b ax1x2=c
∴x1+x2=-b/a x1x2=c/a
計算機解一元二次方程
VB實現方法:
該代碼僅可實現一般形式的求值,並以對話框形式顯示。
dim a,b,c,i
在這裡添加a、b、c的賦值過程。
例如:
a=text1.text
b=text2.text
c=text3.text
if a*2 <> 0 then
i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2
msgbox i
i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2
msgbox i
else
msgbox("2a為零")
end if