人物簡介
韋達韋達從事數學研究只是出於愛好，然而他卻完成了代數和三角學方面的巨著。他的《套用於三角形的數學定律》（1579年）是韋達最早的數學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函式解平面和球面三角形方法的系統著作。他被稱為現代代數符號之父。韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，餘弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換套用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函式並給出當n≤11等於任意正整數的倍角表達式了。
著作
《分析方法入門》
《分析方法入門》是韋達最重要的代數著作，也是最早的符號代數專著，書中第1章套用了兩種希臘文獻：帕波斯的《數學文集》第7篇和丟番圖著作中的解題步驟結合起來，認為代數是一種由已知結果求條件的邏輯分析技巧，並自信希臘數學家已經套用了這種分析術，他只不過將這種分析方法重新組織。韋達不滿足於丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創立一般的符號代數。他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（後來用過N）等表示未知量x，而用Aquadratus,Acubus表示x2、x3，並將這種代數稱為本“類的運算”以此區別於用來確定數目的“數的運算”。當韋達提出類的運算與數的運算的區別時，就已規定了代數與算術的分界。這樣，代數就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數學史上的重要進步，它為代數學的發展開闢了道路，因此韋達被西方稱為"代數學之父"。
《分析五章》
1593年，韋達又出版了另一部代數學專著—《分析五篇》（5卷，約1591年完成）；《論方程的識別與訂正》是韋達逝世後由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年業已完成。其中得到一系列有關方程變換的公式，給出了G.卡爾達諾三次方程和L.費拉里四次方程解法改進後的求解公式。
在《分析五篇》中韋達還說明怎樣用直尺和圓規作出導致某些二次方程的幾何問題的解。
《幾何補篇》
1593年他的《幾何補篇》（Supplementumgeometriae）在圖爾出版了，其中給尺規作圖問題所涉及的一些代數方程知識。
其他成就
韋達最早明確給出有關圓周率π值的無窮運算式,而且創造了一套10進分數表示法，促進了記數法的改革。之後，韋達用代數方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發展成為解析幾何學。韋達從某個方面講，又是幾何學方面的權威，他通過393416個邊的多邊形計算出圓周率，精確到小數點後9位，在相當長的時間裡處於世界領先地位。
韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，餘弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換套用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函式並給出當n≤11等於任意正整數的倍角表達式了。
韋達還探討了代數方程數值解的問題，1600年以《冪的數值解法》為題出版。
韋達定理
韋達定理(Vieta'sTheorem）的內容
（根與係數的關係）
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且b^2-4ac≥0)中
設兩個實數根為X1和X2
則X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
用韋達定理判斷方程的根
若b^2-4ac>0則方程有兩個不相等的實數根
若b^2-4ac=0則方程有兩個相等的實數根
若b^2-4ac<0則方程沒有實數解
韋達定理的證明
一元二次方程求根公式為：
當方程有實數根時
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
則x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）
x1+x2=-b/a
x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）
x1*x2=c/a
韋達定理
判別式、判別式與根的個數關係、判別式與根、韋達定理及其逆定理。
韋達定理的推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0
它的根記作X1,X2…,Xn
我們有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。
如果一元二次方程
在複數集中的根是，那么
由代數基本定理可推得：任何一元n次方程
在複數集中必有根。因此，該方程的左端可以在複數範圍內分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個根。兩端比較係數即得韋達定理。
法國數學家韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。
韋達定理在方程論中有著廣泛的套用。
韋達定理推廣的證明
設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。
則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）
通過係數對比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。
經典例題
例1已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整數根．
(94祖沖之杯數學邀請賽試題)
解：設方程的兩整數根為x1、x2，不妨設x1≤x2．由韋達定理，得
x1+x2=－p，x1x2=q．
於是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，
即x1·x2－x1－x2+1=199．
∴(x1－1)·(x2－1)=199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均為整數，
解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．
例2已知關於x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的兩個根都是正整數，求m的值．
解：設方程的兩個正整數根為x1、x2，且不妨設x1≤x2．由韋達定理得
x1+x2=12－m，x1x2=m－1．
於是x1x2+x1+x2=11，
即(x1+1)(x2+1)=12．
∵x1、x2為正整數，
解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．
故有m=6或7．
例3求實數k，使得方程k(x^2)+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整數．
解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．
若k≠0，設二次方程的兩個整數根為x1、x2，且X1≤X2，由韋達定理得
∴x1x2－x1－x2=2，
(x1－1)(x2－1)=3．
因為x1－1、x2－1均為整數，
所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0.
所以k=1,或k=-1/7
例4已知二次函式y=－x^2+px+q的圖像與x軸交於(α，0)、(β，0)兩點，且α>1>β，求證：p+q>1．
(97四川省國中數學競賽試題)
證明：由題意，可知方程－x2+px+q=0的兩根為α、β．由韋達定理得
α+β=p，αβ=－q．
於是p+q=α+β－αβ，
=－(αβ－α－β+1)+1
=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．
