高次方程的定義
整式方程未知數次數最高項次數高於2次的方程，稱為高次方程。
高次方程的一般形式
高次方程的一般形式為：
anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0
等式兩邊同時除以最高項係數，得：
anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0
所以高次方程一般形式又可寫為：
x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=0
高次方程解法思想
通過適當的方法，把高次方程化為次數較低的方程求解．
高次方程根與係數的關係
按這個高次方程的形式
x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有：
所有根相加等於係數bn-1的相反數；
所有根兩兩相乘再相加等於係數bn-2；
所有根三三相乘再相加等於係數bn-3的相反數；
依次類推，直到所有根相乘，等於(-1)^nb0。
伽羅華對高次方程的研究成果
伽羅華（Galois，1811——1832），法國數學家。
伽羅華15歲進入巴黎有名公立中學學習，偏愛數學。後來想進工科大學，兩次落榜只進一所代等的預備學校，此時，他專攻五次方程代數解法。第一年寫了四篇文章，1828年，17歲的伽羅華寫了《關於五次方程的代數解法問題》等兩篇論文送交法國科學院，但被柯西（Cauchy, 1789——1875）遺失，後來，他又把一篇文章送給傅利（Fourier，1768——1830）。不久，傅利就去世了，也就不了了之。1831年，伽羅華完成了《關於用根式解方程的可解性條件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的審查意見卻是“完全不能理解”，予以退回。伽羅華不幸因決鬥受重傷於1832年5月31日離世，時年不滿21歲，在決鬥前夜，他深知為女友決鬥而死毫無意義，但又不甘示弱，當晚他精神高度緊張和極度不安，連呼“我沒有時間了！”匆忙之中，把他關於方程論的發現草草寫成幾頁說明寄給他的朋友，並附有如下一段話：“你可以公開地請求雅可比（Jacobi）或高斯，不是對於這些定理的真實性而是對於其重要性表示意見，將來我希望有人會發現這堆東西注釋出來對於他們是有益的。”到了14年後的1864年，劉維爾（Liouville，1809——1882）在由他創辦的《純粹數學和套用數學雜誌》上發表了伽羅華的部分文章。關於伽羅華理論的頭一個全面而清楚的介紹是若當（Jordan，1838——1892）於1870年出版的《置換和代數方程專論》一書中給出的。這樣。伽羅華超越時代的天才思想才逐漸被人們所理解和承認，至今已成為一門蓬勃發展的學科——抽象代數學。伽羅華避開了拉格朗日的難以捉摸的預解式而巧妙地套用了置換群這一工具，他不但證明一般代數方程，當n≥5時不可能用根號求根，而且還建立了具體數學係數的代數方程可用根號求解的判別準則，並舉出不能用根號求解的數字係數代數方程的實例。這樣，他就透徹地解決了這個長達二百多年來的時間使不少數學家傷腦筋的問題。不僅如此，伽羅華所發現的結果。他的奇特思想和巧妙方法，現又成為全部代數的中心內容。在這一點上說，他作為抽象代數的創造人之一是當之無愧的。他的貢獻決不限於解決代數方程根號求解的問題。
隨著時間的推移，伽羅華的卓越貢獻越來越為數學家所認識。他的學術思想對近代數學產生了深遠的影響：他開創的群論逐漸滲透到數學其它分支，以及結晶學，理論物理學等領域，群論給這些領域提供了有力的數學工具比如用群論證明了結晶體的類型只有230種，群論為諸如方程的根，晶體的結構，空間變換，基本粒子的對稱性等課題的研究提供統一的方法。到20世紀，群論的概念在整個數學中占有重要的地位，成為現代數學的基礎之一。
阿貝爾定理
阿貝爾（Abel，1802～1829），挪威數學家。
阿貝爾定理： 對於5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數解法和求根公式(即通過各項係數經過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解)，這稱為阿貝爾定理。
換句話說，只有三次和四次的高次方程可解．下面介紹三次和四次方程的解法。
四次方程解法
費拉里（Ferrari ，1522～1565），義大利數學家。
卡爾丹公式誕生後，卡爾丹的學生費拉里便發明了一元四次方程的求根公式。
費拉里公式：
一元四次方程 aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0， （a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，則：
X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，
此方程是以下兩個一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；
2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中：
M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程 8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0 的任一實根。
三次方程解法
卡爾丹（Cardano，1501～1576），義大利數學家。
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的標準型一元三次方程形式化為X^3＋pX＋q=0的特殊型。
1．卡爾丹公式
一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判別式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
【卡爾丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
一般式一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式，
可化為適合卡爾丹公式求解的特殊型三次方程Y^3＋pY＋q=0。
２．盛金公式
三次方程套用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較複雜，缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式－－盛金公式，並建立了新判別法－－盛金判別法。
