齊性空間
正文
又稱齊性流形，是容有可遷變換群的微分流形。齊性空間理論與李群論有極為密切的聯繫。在幾何中出現的許多重要流形都是齊性空間。齊性空間在現代數學的許多分支如李群無限維表示論、調和分析、複變函數、數論和代數幾何等方面有廣泛的套用。設M是一個微分流形,李群G可遷地作用在M上，這裡可遷的意思是說，對M中任意兩點x,y，總存在G中元g將x變到y，即gx=y,這時就稱G為M上的一個可遷變換群，M稱為齊性空間。
設G是一個李群,h是G的一個閉子群,G關於h 的左陪集空間記為G/h。利用投影映射Π:G→G/h,可以自然地在G/h中引進微分桔構，使其成為一個微分流形。G中的任一元 g將陪集g1h 變為(gg1)h。這樣G 就可遷地作用在G/h上。
實際上,齊性空間總可以表達為G/h的形式。在流形M上取定一點x，用h表示G中保持x不動的元素全體,即
那么h是G的一個閉子群，稱為點x的安定群。作陪集空間G/h，如果g∈G,將點x變到點y,就令y對應於陪集gh,這樣建立的對應是惟一確定的，並且是M到G/h的微分同胚,所以M可等同於G/h。由於不同點的安定群是相互共軛的，因此M表達為G/h時,h 除了一個共軛關係外是惟一確定的。 古典的幾何學（如射影空間的幾何學、非歐幾何學、共形幾何學等等）依（C.）F.克萊因的分類均可視為具有一可遷變換群的集合，因此可歸入齊性空間的範疇。
如果一個黎曼流形的等距變換群 G可遷地作用在其上,就稱它為齊性黎曼流形，其度量稱為G不變黎曼度量，這是一類重要的齊性空間。例如，對歐氏球面Sn，可以看出正交群O(n+1)可遷地作用在Sn上,
而且是等距變換，因此Sn是齊性黎曼流形。單連通完備的常曲率空間容有
個參數的可遷等距變換群,所以也是齊性黎曼流形。任意緊李群G都具有黎曼度量,使得在G的乘法(左乘或右乘)作用下黎曼度量不變,因而任意緊李群都可視為齊性黎曼流形。 李群G的一個自同構σ，如果適合σ2=idG,idG表示恆等元素，那么 σ稱為對合。記Gsigma;為 σ的不動點集，即對g∈Gσ成立σ(g)=g。顯然單位元e∈Gσ，用G
表示e在Gσ中的連通分支,那么如果閉子群h 滿足G
h Gσ,就稱齊性空間G/h為對稱齊性空間。例如齊性空間SO(n+1)/SO(n)，這裡SO(n+1)為所有行列式等於1的正交陣組成的線性李群。取α=(αij)為
而其餘元素等於O的對角陣,定義對合
,那么σ的不動點集SO(n+1)恰好就是O(n),而
SO(n)，所以SO(n+1)/SO(n)是一個對稱齊性空間,它微分同胚於Sn。 對稱黎曼流形是最重要的一類對稱齊性空間。一個黎曼流形M稱為對稱黎曼流形,如果對M中每點x
,存在關於x的對合σx,這裡對合σx是指M的這種等距變換,它以x為孤立不動點,且成立
。對稱黎曼流形也稱為對稱黎曼空間。例如，對歐氏空間En中每點x,用σx表示關於x的中心對稱,則σx就是一個對合,所以En是對稱黎曼空間。歐氏球面Sn上對每點x定義一個變換σx，它將任一點y變到σx(y)，使y,x,σx(y)同在一個大圓（即測地線）上，而y與σx(y)等距地分居於x的兩側，顯然σx是一個對合(但有兩個不動點)。所以Sn也是對稱黎曼空間。 對稱齊性空間G/h如果具有G不變黎曼度量，則它也是一個對稱黎曼流形。一個單連通完備黎曼流形是對稱黎曼流形的充要條件為它的曲率張量的協變導數等於零，即曲率張量在平行移動下不變。
藉助李代數的分類定理對於對稱黎曼流形的結構和分類問題進行研究，是一個重要途徑。É.嘉當在1926～1927年首先完成了對稱黎曼流形的完全分類。另一方面，研究齊性空間，特別是對稱黎曼流形的拓撲性質及微分幾何性質也是非常重要的，這些性質常常可以促使對一般流形的性質提出一些很好的問題和猜想。
參考書目
村上信吾著：《齊性流形引論》，上海科學技術出版社，上海，1983。
C.Chevalley,Theory of Lie Groups,Princeton Univ.Press, Princeton, 1946.
S.Helgason,Differential Geometry and SymmetricSpaces,2nd ed., Academic Press, New York, 1979.
