基本信息
在數學上，內積空間是增添了一個額外的結構的矢量空間。這個額外的結構叫做內積或標量積。這個增添的結構將一對矢量與一個純量連線起來，允許我們嚴格地談論矢量的“夾角”和“長度”，並進一步談論矢量的正交性。內積空間由歐幾里得空間抽象而來（內積是點積的抽象），這是泛函分析討論的課題。
內積空間有時也叫做 準希爾伯特空間，因為由內積定義的距離完備化之後就會得到一個希爾伯特空間。
在早期的著作中，內積空間被稱作 酉空間，但這個詞現在已經被淘汰了。在將內積空間稱為酉空間的著作中，“內積空間”常指任意維（可數/不可數）的歐幾里德空間。
向量空間是歐幾里得空間的推廣。設E是域K上的向量空間，( ， )是E上的雙線性函式.若( ， )滿足下列條件，則E稱為內積空間，( ， )稱為內積：
條件1.對稱性.
條件2.非退化性.
若E，F是域K上的內積空間，則E×F也是K上的內積空間.若dim E=n，dim F=m，{a}與{b}分別是E，F的法正交基，則{ab}是E×F的法正交基.
定義
具有內積運算的線性空間，是n維歐氏空間的無限維推廣.設K是實數域或複數域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x，y，都對應著一個數(x，y)∈K，滿足條件：
1.(共軛對稱性)對任意的x，y∈H，有
內積空間(x，y)=
2.(對第一變元的線性性)對任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).
3.(正定性)對一切x∈H，有(x，x)≥0且
(x，x)=0⇔x=0，
這時(·，·)稱為H中的內積，而稱H為(實或復)內積空間，或準希爾伯特空間.令
內積空間‖x‖= ，
內積空間則按範數‖·‖，H成為賦范線性空間.設(X，‖·‖)是賦范線性空間，X中能定義內積(·，·)並使‖x‖= 恆成立的充分必要條件是X的範數‖·‖滿足下面的平行四邊形公式：對任何x，y∈X，
‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖).
完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間H上連續線性泛函的全體記為H，稱H為H的共軛空間.H的共軛空間H就是H本身.事實上，設f∈H，則存在惟一向量y∈H使得對所有x∈H都成立著f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之，對每個y∈H，f(x)=(x，y)確定了H上一個連續線性泛函f∈H.做H到H的映射C如下：C：y→f(y∈H)，則有
內積空間即C實現了H與H*之間的保范共軛線性同構，在此同構意義下，把f與y視為等同，便得H=H.這一性質也稱為希爾伯特空間的自共軛性，它在希爾伯特空間運算元理論中具有很重要的作用.
第一個具體的希爾伯特空間最早是由希爾伯特(Hilbert，D.)在研究積分方程時首先提出的，他在平方可和的無窮實數列{x}全體組成的空間l中規定了內積
內積空間({x}，{y})= xy，
把空間l看做歐幾里得空間向無窮維的推廣，從而有效地解決了一類積分方程求解及本徵展開問題.不久馮·諾伊曼(von Neumann，J.)建立了一般希爾伯特空間的理論.希爾伯特空間的概念和理論已被廣泛套用於數學和物理的各個分支.如積分方程、微分方程、隨機過程、函式論、調和分析、數學物理和量子物理等.
內積
內積（inner product），又稱數量積（scalar product）、點積（dot product）
他是一種矢量運算，但其結果為某一數值，並非向量。
設矢量A=[a1,a2,...an]，B=[b1,b2...bn] ，則矢量A和B的內積表示為:
A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn
A·B = |A| × |B| × cosθ
|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);
|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2).
其中，|A| 和 |B| 分別是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夾角（θ∈[0,π]）。若B為單位向量，即 |B|=1時，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影長度。向量A為單位向量時同理。當向量A與B垂直時，A·B=0。
性質特徵
設X為複線性空間,如果對任給的x, y∈X都恰有一個複數,記為(x, y),與之對應,並且對應具有下列性質:
1. (x, x)≥0; (x, x) = 0必須且只須x = 0
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
3. (αx, y) = α(x, y)
4. (x, y) = (y, x)
對任意的x, y∈X, α∈C,稱(x, y)為x與y的內積,稱X為內積空間。
內積空間有如下特性：
在內積空間X中，x⊥Iy⇔x⊥Py.
內積空間中, “⊥P”具有齊次性和可加性
內積空間中的等腰正交有齊次性和可加性
X為內積空間,若且唯若x⊥Py⇔x⊥Sy.
X為一個賦范線性空間, λ > 0,若x, y∈S(X),且 ∥x + λy∥=∥x−λy∥,則∥x + λy∥2= 1 + λ2就稱X滿足P
λ性質.
Minkowski平面中若存在一個非零的⊥R正交元x0,且∀λ > 0,滿足Pλ性質,則該空間為內積空間.
X為三維實賦范空間,存在非零元素x, y, z∈X且滿足下面兩個條件:1.x⊥Py, x⊥Pz, y⊥Pz,且x與my, x與nz y與qz滿足正交可加性, m, n, q∈Z+;2.x⊥Pαy + βz, y⊥Pαx + βz, z⊥Pαx + βy α, β∈R;則X為內積空間.
有 限 維 空 間X中 存 在 一 組 非 零 的 正 交 元x1, x2, ..., xn且 滿 足類似定理2.2.12中的條件兩兩互相P正交,元素及其整數倍滿足正交可加性且xj⊥∑ni=1αixi,∀αi∈R且αj= 0 j = 1, 2...n則X為內積空間.
