黎曼流形

在微分流形以及黎曼幾何學科中，一個黎曼流形是具有黎曼度量的實微分流形，換句話說，這個流形上配備有一個對稱正定協變二階張量場，亦即在每一點的切空間上配備一個2階正定矩陣。給了度量以後，我們就可以向數學分析里做的那樣，在黎曼流形上建立起微積分的理論。

介紹

黎曼流形

愛因斯坦的廣義相對論告訴我們，引力並不是真正的力，而是反映空間扭曲的一個幾何現象。對一個考察者來說，他身處在這個空間裡，是無法直接體會到空間扭曲的。 但是他可以通過測量自己所處的空間來判斷是否存在空間扭曲，測量的標準就是所謂的度量。 度量是內蘊性質。 具有度量的空間就稱為黎曼空間。

簡介

具體的定義如下：
黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，換句話說，這個流形上有一個對稱正定協變 二階張量場， 亦即每一點處有一個2階正定矩陣。給了度量以後， 我們就可以向數學分析里做的那樣，建立起微積分的理論。
歐氏空間有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩陣就是單位矩陣。
歐氏空間中的子流形當然也就自然地誘導出一個度量。曲線和曲面的微分幾何 里，我們都是把曲線曲面視為三維空間的子流形，所以自然賦予了度量結構。
黎曼度量給定後，我們可以有唯一的確定出一個對稱（即無撓）聯絡，並且它是保持黎曼內積。這個聯絡稱為黎曼聯絡。

作用

有了聯絡，我們就可以定義向量場的協變微分和協變導數，從而建立起流形上的微分學。 在歐氏空間上，聯絡是0，所以這就是通常意義上的向量函式的微分。
黎曼度量還誘導出黎曼曲率的概念，它反映了流形的彎曲程度，是內蘊性質，也就是說這個性質與流形所在的大空間無關。 曲率恆消失的流形稱為平坦黎曼流形。歐氏空間就是最常見的平坦流形。
大數學家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 發現這種曲率是內蘊的，儘管它的定義式不是內蘊的。 這是一個非常了不起的發現。