名稱
黑洞數
介紹
黑洞數又稱陷阱數,是類具有奇特轉換特性的整數。 任何一個數字不全相同整數,經有限“重排求差”操作,總會得某一個或一些數,這些數即為黑洞數。"重排求差"操作即組成該數得排後的最大數去重排的最小數。
舉個例子，三位數的黑洞數為495
簡易推導過程：隨便找個數，如297，三個位上的數從小到大和從大到小各排一次，為972和279，相減，得693
按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495
之後反覆都得到495
再如，四位數的黑洞數有6174
神秘的6174－黑洞數
隨便造一個四位數，如a1=1628,先把組成部分1628的四個數字由大到小排列得到a2＝8621，再把1628的四個數字由小到大排列得a3＝1268，用大的減去小的a2-a1=8621-1268＝7353，把7353按上面的方法再作一遍，由大到小排列得7533，由小到大排列得3357，相減7533-3367＝4176
把4176再重複一遍：7641-1467＝6174。
如果再往下作，奇蹟就出現了！7641-1467＝6174，又回到6174。
這是偶然的嗎？我們再隨便舉一個數1331，按上面的方法連續去做：
3311-1133＝2178 8721-1278＝7443 7443-3447＝3996 9963-3699＝6264
6624-2466＝4174 7641-1467＝6174
好啦！6174的“幽靈”又出現了，大家不妨試一試，對於任何一個數字不完全的四位數，最多運算7步，必然落入陷阱中。
這個黑洞數已經由印度數學家證明了。
在數學中由有很多有趣，有意義的規律等待我們去探索和研究，讓我們在數學中得到更多的樂趣。
蘇聯的科普作家高基莫夫在他的著作《數學的敏感》一書中，提到了一個奇妙的四位數6174，並把它列作“沒有揭開的秘密”。不過，近年來，由於數學愛好者的努力，已經開始撥開迷霧。
6174有什麼奇妙之處？
請隨便寫出一個四位數，這個數的四個數字有相同的也不要緊，但這四個數不準完全相同，例如 3333、7777等都應該排除。
寫出四位數後，把數中的各位數字按大到小的順序和小到大的順序重新排列，將得到由這四個數字組成的四位數中的最大者和最小者，兩者相減，就得到另一個四位數。將組成這個四位數的四個數字施行同樣的變換，又得到一個最大的數和最小的數，兩者相減……這樣循環下去，一定在經過若干次（最多7次）變換之後，得到6174。
例如，開始時我們取數8208，重新排列後最大數為8820，最小數為0288，8820—0288＝8532；對8532重複以上過程：8532－2358=6174。這裡，經過兩步變換就掉入6174這個“陷階”。
需要略加說明的是：以0開頭的數，例如0288也得看成一個四位數。再如，我們開始取數2187，按要求進行變換：
2187 → 8721－1278＝7443→7443－3447＝3996→9963－3699=6264→6642－2466＝4176→7641－1467＝6174。
這裡，經過五步變換就掉入了“陷阱”——6174。
拿6174 本身來試，只需一步：7641－1467=6174，就掉入“陷阱”祟也出不來了。
所有的四位數都會掉入6174設的陷阱，不信可以取一些數進行驗證。驗證之後，你不得不感嘆6174的奇妙。
任何一個數字不全相同整數，經有限次“重排求差”操作，總會得某一個或一些數，這些數即為黑洞數。"重排求差"操作即組成該數得排後的最大數去重排的最小數。
黑洞數的性質及套用
【摘要】本文提出建立了黑洞數的概念，分別對整數黑洞數、模式黑洞數、方冪餘式黑洞數的一般性質做了闡述。並給出了二元一次方程 ax- by- c =0的求根法則。
【關鍵字】 黑洞數、 整數黑洞數 、 模式黑洞 數 、方冪餘式黑洞數。
【引言】 在日常學習計算中，化簡含有未知數的代數式或方程經常會得到x-x=0之結果。此前，人們只是把這種情況定義為“此算式沒有意義”而終結。黑洞數理論的出現 ，讓人們看到了代數式或方程中未知數可任意取值時的另一層含義。本文提出證明的方冪餘式黑洞數定理，揭示出a, m不互素條件下的餘數循環規律，它將與歐拉餘數定理互為補充，構造出全體整數的方冪式除法餘數運算法則。本文給出的二元一次方程ax-by-c=0的求根公式，將成為餘數新理論套用的一個範例。
定義1、在含有未知數變數的代數式中，當未知數變數任意取值時其運算結果都不改變，我們把這時的數字結果叫黑洞數。根據運算性質的不同，我們把黑洞數分為以下三種類型：Ⅰ、整數黑洞數 Ⅱ、模式黑洞數 Ⅲ、方冪餘式黑洞數
Ⅰ、整數黑洞數
在前文《模根因數定理與模根剩餘法判定素數》中，在建立選加因數概念後，我們證明了整數因數定理：
若a、b都是大於1的整數，且有g = ab，則有：
g+an=a（b+n）
其中 ： n = 0、1、2、3……
根據整數因數定理，我們即可得到如下整數黑洞數
ab+an
--------------- = a
b+n
其中： n = 0、1、2、3 ……
這裡，不論未知變數怎樣取值，上式的結果都等於a.。
例如：取a=7, b=3，ab=21， 則有：
21+7n
---------------- = 7
3+n
其中： n = 0、1、2、3 ……
套用方面的例子：
全體偶數 = 2 (n) + 2, （ n = 0、1、2、3 ……）
自然數中的全部合數 = 4 +2n + h(2+n)
其中： n = 0、1、2、3 ……
對n的每個取值都重複取
h = 0、1、2、3 ……
Ⅱ、模式黑洞數
模式黑洞數是指模的同餘式mn+L條件下的黑洞數。 在前文《模根因數定理與模根剩餘法判定素數》一文中，模根因數定理（1）式：
若 a＞1， b＞1，且 ab = mk + L，則有：
m（k+aN）+L
-------------------------- = a
b+mN
其中：N = 0、1、2、3 ……
這時的a值就是模式黑洞數。
套用實例：
取a=7， b=13, 則 ab= 91=mk + L = 2×45×1
2（45+7N）+1
根據上式得到：-------------------------- =7
13+2N
其中：N = 0、1、2、3 ……
套用實例：素數通式定理
若ap是同餘式2N+1模根數列的條件剩餘數，
當 ap ≠ 4 + 3n + h (3 +2n ) 時
其中：n = 0、1、2、3 ……
對n的每個取值都重複取
h = 0、1、2、3 ……
則條件通式 2+1 的值恆是素數。
模式黑洞數性質是我們建立素數代數理論體系的根本前提。
Ⅲ、方冪餘式黑洞數
在方冪餘式除法 a^n÷m ≡L關係中，當得到 L^n÷m ≡L 時 (n = 1、2、3 ……), 我們稱這時的L為因數a的m值黑洞數。
例如：在 3×5 = 15 關係時
我們得到： 3^4÷15 ≡ 6
這時有： 6^n÷15 ≡ 6 （n = 1、2、3 ……）
所以我們稱6是因數3的15值的方冪餘式黑洞數。
為了方便,我們引入符號 ⊙（m）a = L 來表示方冪餘式黑洞數關係。即上式結果可表示為 ⊙（15）3 = 6，符號“⊙”在這裡讀作黑洞數。
下面我們將證明方冪餘式黑洞數定理；
定理1： 如a＞1， b＞1，（a ，b）=1 且 ab = m ；
則有：a^ф（b）≡⊙ （mod m）
即這時：⊙^n ≡⊙ （mod m）
其中：n = 1、2、3 ……
證：我們分別對b為素數，b為素數乘方，b為多個素數乘積時的情況加以證明。
當b為素數時：
取a=7， b=19， 則 ab = 7×19 = 133
由定理關係得到：
7^ф（19）=7^18≡77 （mod 133）
而 77^n≡77 （mod 133） 此時定理關係成立
當b為素數的n次乘方時：
取 a = 7， b=5^2=25， 則 ab = 7×25 = 175
由定理關係得到：
7^ф（25）=7^20≡126 （mod 175）
而 126^n≡126 （mod 175） 此時定理關係也成立
當b為多個素數乘積時：
取 a = 7， b= 3×11=33，則 ab = 7×33 = 231
由定理關係得到：
7^ф（33）=7^20≡133 （mod 231）
而 133^n≡133 （mod 231） 所述定理關係式成立
故定理1得證
方冪餘式黑洞數的一些性質及套用：
1、因數a的黑洞數減1的平方除m的餘數是因數b的黑洞數；
即：如 ⊙(m)a = e1， 則 (e1-1)^2÷m ≡ e2 = ⊙(m)b
2、m所含黑洞數的個數等於m所含素因數個數做為2底方次數減2；
即：m為素數沒有黑洞數
m有2個素因子時有2^2-2 = 2個黑洞數
m含有3個素因子時有2^3-2 = 6個黑洞數
3、在m定值後，如果把全部 an (n = 1、2、3 …… 但n≠b) 值都做為底數，這時的
a^c÷m≡⊙的c值變化規律。與m的餘數循環節a^c÷m≡1規律具有相同的變節和不變節特性。
即： 若 7^10≡⊙ （mod m） 關係成立，
則 （7^2）5≡⊙ （mod m） 關係也成立；
套用方面的例子：
若 b＞c ，我們有以下二元一次方程 ax -by -c = 0 求根法則：
首先： 取 ab = m
計算： a^ф（b）÷m ≡ ⊙
計算： ⊙×c ÷m ≡S1
計算： （⊙-1）×c ÷m ≡S2
x =S1÷a
這時
y =S2÷b
這時的 x，y 值是方程的最小整數根。
但方程 ax- by- c = 0 有無限多組整數根，它的全部整數根集可表示為：
x = S1÷a + b n
y = S2÷b + a n
其中：n = 0、1、2、3 ……
實例1：求方程 13x- 7y -3 = 0 的最小整數根和全部整數根？
首先： 取13×7 = 91
計算： 13^ф（7）=13^6÷91 ≡ 78
計算： 78×3÷91 ≡52
計算： （78-1）×3÷91 ≡49
x =52÷13=4
這時
y =49÷7=7
這時的 x，y 值是方程的最小整數根。
但方程 ax- by- c = 0 有無限多組整數根，它的全部整數根集可表示為：
x = 4 + 7n
y = 7 + 13n
其中：n = 0、1、2、3 ……
實例2：求方程 13x- 8y +4 = 0 的最小整數根和全部整數根？
首先： 取13×8 = 104
計算： 13^ф（8）=13^4÷91 ≡ 65
計算： 65×（-4）÷104 ≡ -52≡52
計算： （65-1）×（-4）÷104 ≡ -48≡56
x =52÷13=4
這時
y =56÷8=7
這時的 x，y 值是方程的最小整數根。
但方程 13x- 8y +4 = 0 有無限多組整數根，它的全部整數根集可表示為：
x = 4 + 8n
y = 7 + 13n
其中：n = 0、1、2、3 ……
隨著時間的推移，相信人們會看到黑洞數理論的更多成果。
