簡介
當多項式f(x)除以一線性多項式(x-a)時，所得的餘式是f(a)。如果餘式為0，x-a即f(x)的一個因式。這結果可以幫助我們把多項式作因式分解。證明
餘數定理設多項式P(x)除以一次式(x-a)所得的商為Q(x)，餘數為R，根據上面的性質可以列出下列恆等式：
令x=a，代入上式即得P(a)=(a-a)×Q(a)+R=R。因此得到結論：P(x)除以(x-a)後的餘數R=P(a)。
注意：若除式不為(x-a)的類型，我們依然可以利用上面的方法來求餘數（式），即先求出使除式為0的x的值，再代入恆等號兩邊。參考下列例題。
例題
一次項係數不為1的場合例：求的餘數。
解：在這裡，使除式為0的x=1/2，所以餘數為。
除式次數大於1的場合
例：求的餘式。
解：由於除式是2次多項式，所以設餘式為（餘式的次數要比除式低1）。的解為x=1及x=2。代入恆等式的兩邊得：
解得。
故餘式為
例：求的餘式。
解：除式的次數為3，所以設餘式為。由於(x-1)³=0的解為x=1及x=-1，代入恆等式得：
1=a+b+c
1=a-b+c
※出現等式個數少於待定係數的個數時需要把恆等式兩邊對x求導，再把解代入求導後的等式中。
對左右兩邊求導得
再把x=1代入，得到第三個等式：10=2a+b
解方程得a=5，b=0，c=-4
所以餘式為5x²-4
