數學分析
正文
以函式為研究對象的數學學科。廣義的數學分析包括微積分學、複變函數、實變函式、微分方程、積分方程、泛函分析等數學分支。這裡所說的數學分析是狹義的，它專指微積分學。數學史上有時也把微積分叫做無窮小量分析。 微積分的思想早在古代希臘和中國就已經有了雛形。到17世紀，生產和科學的發展向數學提出新的研究課題，例如，求物體運動的瞬時速度、曲線的切線、函式的極值以及由曲邊形圍成的圖形面積等問題。這些問題都牽涉變動的量，但以常數為研究對象的初等數學對此卻無能為力，因而迫切需要建立一種以變數為研究對象的新數學。17世紀下半葉，I.牛頓和G.W.萊布尼茨各自獨立地建立了微積分計算法。它不僅使以前需要用各種特殊技巧分別處理的難題有了統一的解決辦法，而且大大簡化了積分運算。微積分一經產生就在實踐中顯示出巨大的威力，但它在邏輯推理上卻存在著矛盾。1821年，法國數學家A.L.柯西(1789～1857)對極限概念作了明確定義，並且以此為基礎澄清了連續、導數、積分等基本概念，使得微積分成為比較嚴密的理論。19世紀70年代，德國的K.魏爾施特拉斯(1815～1897)等人進一步把極限概念奠定在實數理論的基礎上，實現了數學分析的算術化，使得微積分具有今天的嚴密形式。
300多年來,微積分除了尋找自身的邏輯基礎以外，還發展出許多新的分支學科。同時，微積分這一古老的學科發展到20世紀還出現了一些新的形態，如非標準分析等。
微積分的發展過程體現著人們認識無窮小量的深化過程。在古代，隨著原子論思想進入數學，人們從感性直觀上認識到存在實在無限小量。後來，隨著窮竭法的出現，又認識到存在潛在的無限小量，並且否定實在無限小量的存在性。牛頓、萊布尼茨的微積分實質上是採用了實在無限小量的概念，排斥了潛在無限小量。他們從幾何和物理的直觀上把握了實在無限小量的零與非零的性質,但由於當時對實在無限小量缺乏深刻的認識,不能精確地表述這一概念，所以在推理論證上產生邏輯矛盾，微積分也就成了當時數學哲學爭論的焦點。柯西把無限小量定義為以零為極限的變數以後，一方面使得人們對無限小量的認識前進了一步，即認識到它在變化過程中是非零，但其變化的趨勢卻是零，而且可以無限地趨近於零，這就解決了無限小量是零還是非零的哲學問題，同時導致一些數學家只肯定潛在無限小量而否定實在無限小量。20世紀60年代，A.魯賓遜(1918～1974)從數學上嚴格證明了在數系中存在著實在無限小量，進而把數域從實數域擴大到非標準的實數域，並在此基礎上建立了非標準分析理論。實在無限小量是一個大於零而小於任意實數的量，它在實數域中表現為零，在非標準實數域中則表現為非零。這樣，人們就可以從數系的不同層次上清楚而直觀地理解實在無限小量的零與非零性質。至此，人們在對無窮小量的認識上，已經克服了兩種片面性，更深刻地認識到無窮小量的辯證性質。同時，在這一認識的基礎上，產生了兩種形式的分析學──微積分學和非標準分析。
參考書目
C.B.波耶著，上海師範大學數學系譯：《微積分概念史》，上海人民出版社，上海，1977。
A.魯濱遜著、申又棖等譯：《非標準分析》，科學出版社，北京，1980。
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