詞語簡介
基本資料
詞目：對稱
拼音：duì chèn
英文：symmetry
基本釋義
[symmetry;symmetrical] 指圖形或物體兩對的兩邊的各部分,在大小、形狀和排列上具有一一對應的關係。
我國的建築,…絕大部分是對稱的。
引證解釋
1. 指第二人稱。
朱自清《你我》：“利用呼位，將他稱與對稱拉在一塊兒。”
2. 物體或圖象對某一點、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上相互對應。
洪深《戲劇導演的初步知識》：“畫面構成的第一條原則是‘對稱’：左右相等，不偏不倚。”
其它相關
守恆律與對稱性的聯繫
可以肯定的是，楊振寧1962年出版的《原子物理中某些發現的小史》（中譯本為《基本粒子發現簡史》，上海科學技術出版社1963年出版）引用過（譯名為凡爾），楊先生引的那句話“不對稱很少僅僅由於對稱的不存在”，已成為深刻的哲理名言。我寫《分形藝術》時，也裝潢門面，把外爾和楊先生的話一併引了。在自然科學和數學上，對稱意味著某種變換下的不變性，即“組元的構形在其自同構變換群作用下所具有的不變性”，通常的形式有鏡像對稱（左右對稱或者叫雙側對稱）、平移對稱、轉動對稱和伸縮對稱等。物理學中守恆律都與某種對稱性相聯繫。
生物形態的對稱
一般指圖形和形態被點、線或平面區分為相等的部分而言。在生物形態上主要的對稱分為下列各種：（1）輻射對稱：與身體主軸成直角且互為等角的幾個軸（輻射軸）均相等，如果通過輻射軸把含有主軸的身體切開時，則常可把身體分為顯鏡像關係的兩個部分。例如海星可見有五個輻射軸。另外在高等植物的莖和花等，也常具有輻射對稱的結構；
（2）雙輻射對稱：只有兩個輻射軸，彼此互成直角，形式上可以把它看成是從輻射對稱向左右對稱的過渡型（例如櫛水母）；
（3）左右對稱：或稱兩側對稱，是僅通過一個平面（正中矢面）將身體分為互相顯鏡像關係的兩個部分（例如脊椎動物的外形）。在正中矢面內由身體前端至後端的軸稱為頭尾軸或縱軸，這個軸與身體長軸大都一致。在正中矢面內與頭尾軸成直角並通過背腹的軸為背腹軸或矢狀軸。還有與正中矢面成直角的軸稱正中側面軸（或內外軸）、該軸夾著正中矢面，彼此相等且具有方向相反的極性，如果將兩側的正中側面軸合起來看成為一軸時，則稱為橫軸。在輻射對稱中，如相當于海星的一根足的同型部分，稱為副節（paramere），副節其本身成兩側對稱。一般兩側對稱的每一半為與同一軸相關而極向相反的同型部分，此稱為對節或體輻。副節、對節等的同型部分，一般來看，僅相互方向不同，可認為這是與對外界的關係相同有著密切的聯繫。所以在個體發生或系統發生過程中其生活方式變化時，而與之相關的對稱類型也時有變化。例如棘皮動物在自由運動的幼體期具有左右對稱的體制，在接近靜止生活的成體，則顯有輻射對稱的體制。再如比目魚等左右體側可成為二次的背腹關係。把無對稱的關係稱為非對稱（asy－metry），其中具有規則形態的在生物界可廣泛見到的有螺鏇性。此外還有即使外形上表現對稱，但與外界無直接關係的內臟，基本既可表現為對稱的，也有不少由於形態變形而表現為不對稱的。
中心對稱
概念
把一個圖形繞著某一點鏇轉180°，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱（central symmetry），這個點叫做對稱中心，這兩個圖形的對應點叫做關於中心的對稱點。
中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯繫的概念．它們的區別是：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關係，這兩個圖形關於一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關於點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關於對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關於對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上．如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關於中心對稱．
也就是說：
① 中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點鏇轉180度後能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。
②中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點鏇轉180度後能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。
中心對稱圖形
正（2N）邊形（N為大於1的正整數）、線段、圓、平行四邊形、直線等。
實際上，除了直線外，所有中心對稱圖形都只有一個對稱點。
既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形：不等腰三角形，直角梯形，普通四邊形
中心對稱的性質
①關於中心對稱的兩個圖形是全等形。
②關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分。
③關於中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。
識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點，使圖形繞著這個點鏇轉180°後能與原圖形重合。
中心對稱是指兩個圖形繞某一個點鏇轉180°後，能夠完全重合，稱這兩個圖形關於該點對稱，該點稱為對稱中心.二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個圖形鏇轉180°後完全重合才稱為對稱中點.
輻射對稱動物
輻射對稱動物Radiata是左右對稱動物的對應詞。顧維爾（G.L.Cuv－ier）把大部分的棘皮動物、腔腸動物、海綿動物、扁形動物及滴蟲類命名為輻射對稱動物。馮·西波德（K.T.von Siebold）把棘皮動物、腔腸動物、海綿動物總稱為輻射對稱動物。以後，被命名為腔腸動物（有時也包括棘皮動物）。
科學與藝術
科學和藝術都很重視對稱性。對於科學，對稱性決定了各種可能的守恆定律，因而具有更根本性的意義。在藝術中，對稱性常與平衡、形狀、形式、空間等一同討論。人們通常從靜態表現上理解對稱性，有一定意義，但更重要的是從操作意義上、從生成過程上理解對稱性。
一在科學中，對稱性是指某種操作下的不變性或者守恆性，對稱性常與守恆定律相聯繫。與空間平移不變性對應的是動量守恆定律；與時間平移不變性對應的是能量守恆定律；與轉動變換不變性對應的是角動量守恆；與空間反射（鏡像）操作不變性對應的是宇稱守恆。在弱相互作用中，“宇稱”不守恆，自然界在C或P下不是對稱的，在CP下也不是對稱的，但卻是CPT對稱的。這裡C表示電荷變號操作，相當於反轉變換，如由底片洗出照片，電子變正電子，物質變反物質；P表示鏡像反射操作，如人照鏡子；T表示時間反演操作，如微觀可逆過程。也就是說，當同時把粒子與反粒子互變（C）、左與右互變（P）、過去與未來互變（T），自然界又是對稱的。
但把物質的宇稱、超荷、同位鏇等所有物理性質都加起來考慮，會發現它們總體上並不守恆，即對稱性有破缺。人們假設，這是只考慮“物質”的結果，如果把“真空”也算在內，就有可能找回“失去的對稱性”，總體上這世界仍然是對稱的、守恆的。問題是，到目前為止，科學家對真空的了解還不夠多。為什麼CP不守恆，而CPT就守恆？CPT守恆意味著什麼？CPT真的永遠守恆嗎？這都是些非常重要而艱難的問題，還有很大一部分需要科學家進一步研究來解答。
對稱性是第一世界固有的，還是第二世界強加於其上的？是自然界的屬性，還是自然科學中物理定律的屬性？或者問，對稱性是客觀的，還是主觀的？一種簡便的而肯定的回答是，對稱性是客觀的、自然世界固有的屬性。這也是過去流行的觀點，但此觀點對於解決問題並不比相反的觀點更具有優勢。如果把認識世界視為一個複雜的、不斷進步的過程，理解對稱性也要放在一個過程之中進行，在此認識系統中，“屬性”的辭彙是不恰當。如果仍然保留“屬性”一詞，它也只能指對象在某種條件下表現出來的功能，這也可以稱作“條件主義”科學哲學。條件也即約束，可對應於某種操作，標示某種認識層次。對稱性原理均根植於“不可觀測量”的理論假設上；不可觀測就意味著對稱性，任何不對稱性的發現必定意味著存在某種可觀測量。（李政道）那么“不可觀測”是不是由於我們認識能力而導致的一種假相呢？
李政道說：“這些‘不可觀測量’中，有一些只是由於我們目前測量能力的限制。當我們的實驗技術得到改進時，我們的觀測範圍自然要擴大。因而，完全有可能到某種時候，我們能夠探測到某個假設的‘不可觀測量’，而這正是對稱破壞的根源。然而，當確實發生這樣的破壞時，一個更深入的問題是，我們怎么能夠確信這不是意味著世界不對稱呢？是否有可能，自然界基本規律仍然是對稱的？是自然規律不對稱，還是世界不對稱？這兩種觀點究竟有什麼區別呢？”此論述概括了理論物理學的認識過程，更涉及一些基本的哲學問題。
二
當年數學家魏爾（H．Weyl）在討論藝術作品中的對稱性時，提到西方藝術像其生活一樣，傾向於緩解、放寬、修正，甚至打破嚴格的對稱性，接著有一名句：“但是不對稱很少是僅僅由於對稱的不存在。”（《對稱》，商務1986，第11頁）楊振寧引用了魏爾的話，並加上一句評論：“這句話有物理學中似乎也是正確的。”（《基本粒子發現簡史》，上海科技1979，第58頁）我們則又加一句，無論對於科學還是藝術，“同樣，找到對稱也絕對不是僅僅由於非對稱的不存在。”
科學和藝術都是講究對稱性的，對稱性意味著某種規則，很難想像像科學與藝術如此宏大而不斷積累的人類文明會沒有規則，雜亂無章。那么是否可以推論出，科學與藝術只關注規則、對稱性，並且只有對稱的東西才稱得上科學與藝術呢？答案是否定的。李政道1996年5月23日在中央工藝美術學院的演講中曾指出：“藝術與科學，都是對稱與不對稱的巧妙組合。”這無疑是正確的。對稱是美，不對稱也是美，準確說，對稱與對稱破缺的某種組合才是美。“單純對稱和單純不對稱都是單調。一個對稱的建築只有放在不對稱的環境空間中才顯得美，反之亦然。”
無論對於科學還是對於藝術，對稱性都涉及不同的方面和不同的層次。不同方面指對稱的多樣性：平移對稱（連續裝飾花紋、花布）、鏇轉對稱（穹窿、五角星、傘、晶體）、左右對稱性（建築立面、人體）及聯合操作對稱性（埃舍爾的《騎士圖》，類似CP操作）。不同方面還涉及局部與整體的關係，對稱性有長程整體對稱（如晶體），也有局部短程對稱（如準晶、凱爾特裝飾藝術），這些在科學與藝術作品中都有許多實例。不同層次指對稱性依賴於物質層次或者觀念層次，在不同的層次上對稱性可以很不相同，以人體為例，外表是左右對稱的，但內臟則不是，心臟通常靠近左側，腎等還是對稱的。凱爾特藝術（Celticart）有很強的規則性，可以明顯地發現少數基本結構在不同的層次上重複出現，不同層次的對稱性與對稱性破缺相互照應，細節豐富、層次分明，給予人以較強的裝飾效果。可以肯定地說，凱爾特藝術有意識地利用了伸縮變換不變性，即標度變換下的不變性，也就是自相似對稱性。特別有趣的是，在分形科學與藝術中，能夠觀察到各種對稱性，既有不同方面的也有不同層次的，通過複函數計算機疊代，非常容易地展示這些對稱性。
“對稱案”重現江湖
《李政道傳》近日，楊振寧或將與《李政道傳》上法庭打官司。主要是圍繞季羨林之子、李政道助手季承撰寫的《李政道傳》。楊振寧稱《李政道傳》有諸多不實之處，並再次強調，半個多世紀以來，他和李政道決裂的責任在李政道。昨日，季承表示，歡迎楊振寧“質疑”。因為回應越多，才能越有助於相關研究者和學界找到事情的真相。季承還表示，如果楊振寧要起訴他，他願意應訴。
據楊振寧說，《李政道傳》中，季承引用李政道的說法，認為宇稱不守恆的突破思想是李政道先提出的。對此，楊振寧表示，突破思想是兩個人在研究中“頓悟”的，而頓悟的是“楊”還是“李”，他也沒有鐵證，但他又稱“80%~90%的可信度是自己”，因為發現該定律最重要的是與對稱有關的係數，而對稱是他的專業，“所以才能想到這不尋常的一面”。
《對稱》小冊子
《對稱》是舉世聞名的大手筆小冊子，是作者大學退休前“唱出的一支天鵝曲”，它由普林斯頓大學出版社將外爾（C.H.H.Weyl，曾譯作魏爾或者凡爾）退休前的系列講座彙編而成書。據說許多百科全書的“對稱”條目都將外爾的這部小書列為主要參考文獻。
圖書一
圖書信息
作者：（德）外爾著，馮承天，陸繼宗譯
出 版 社：上海科技教育出版社
出版時間：2005-4-1版次：1頁數：171字數：106000
印刷時間：2005-4-1開本：紙張：膠版紙
印次：I S B N：9787542837882包裝：平裝
內容簡介
遵循現代人文教育和公民教育的理念，秉承通達民情，化育人心的中國傳統教育精神，大學經典依據中西文明傳統的知識譜系及其價值內涵，將人類歷史上具有人文內涵的經典作品編輯成為大學教育的基礎讀本，應時代所需，順時勢所趨，為塑造現代中國人的人文素養，公民意識和國家精神傾力盡心。開放人文旨在提供全景式的人文閱讀平台，從文學、歷史、藝術，科學等多個面向調動讀者的閱讀愉悅，寓學于樂，寓樂於心，為廣大讀者陶冶心性，培植情操。
目錄
圖書對稱序言及文章評註
雙側對稱性
平移對稱性、鏇轉對稱性和有關的對稱性
裝飾對稱性
晶體·對稱性的一般數學觀念
附錄A 確定三維空間中由真鏇轉構成的所有有限群
附錄B 計入非真鏇轉
致謝
圖書二
圖書信息
書名：Symmetries(對稱)
ISBN：9787302214786
作者：Johnson, D.L.著
定價：34元
出版日期：2009-11-1
出版社：清華大學出版社
圖書簡介
本書研究空間幾何中的各種對稱，介紹相關的對稱群；以通俗易懂的方式講述幾何與群的本質，以及兩者之間的聯繫（即對稱）。書中有大量習題並附部分習題答案或提示。本書是一本優秀的數學教材，適用於數學系本科生和其他專業對數學有興趣的本科生用作數學參考書或課外讀物。
目錄
Contents1. Metric Spaces and their Groups ............................ 11.1 Metric Spaces............................................ 1-1.2- Isometries ...............................................-41.3 Isometries of the Real Line ................................ 51.4 Matters Arising .......................................... 71.5 Symmetry Groups........................................ 102. IsometriesofthePlane..................................... 152.1 Congruent Triangles ...................................... 152.2 IsometriesofDifferentTypes............................... 182.3 The Normal Form Theorem................................ 202.4 Conjugationoflsometries ................................. 213. Some Basic Group Theory.................................. 273.1 Groups.................................................. 28A~m~3.2 Subgroups ............................................... 503.3 Factor Groups ........................................... 333.4 Semidirect Products ...................................... 364. Products of Reflections ..................................... 454.1 The Product of Two Reflections............................ 454.2 Three Reflections......................................... 474.3 Four or More ............................................ 505. Generators and Relations................................... 555.1 Examples................................................ 565.2 Semidirect Products Again ................................ 60eoeXlllxiv Contents~ I ~ ~ I I I _ II I I I I I II I III ~ ~ I I I I I15.3 Change of Presentation.................................... 615,5.4 Triangle Groups.......................................... 6[)15.5 Abelian Groups .......................................... 706. Discrete Subgroups of the Euclidean Group ................ 7[)-15.-1- -Leonardo's Theorem ......................................-~Su6.2 ATrichotomy............................................ 816.3 Friezes and Their Groups.................................. 836.,1 The Classification ........................................ 8157 Plane Crystallographic Groups' OP Case 897.1 The Crystallographic Restriction ........................... 807.2 TheParametern......................................... Ol7.3 The Choice of b .......................................... 027.4 Conclusion .............................................. 048. Plane Crystallographic Groups: OR Case................... 97-8.-1--A Useful----Dichotomy ......................................--978.2 The Case n - 1 .......................................... 10083 The Case n - 2 1008 4 The Case n - 4 1018 5 The Case n - 3 1028 6 The Case n - 6 1049. Tessellations of the Plane................................... 107O.1 Regular Tessellations...................................... 1079.2 Descendants of (4, 4) ..................................... 1109.3 Bricks................................................... 1129.4 Split Bricks.............................................. 1139.5 Descendants of (3, 6) ..................................... 11610. Tessellations of the Sphere.................................. 123dMm~10.1 Spherical Geometry....................................... 12310.2 The Spherical Excess ..................................... 125-1--0.3 Tessellations of- the--Sphere.................................-1--281-0.-4 The-Platonic Solids.......................................-1-~3010.5 Symmetry Groups........................................ 13311. Triangle Groups ............................................ 13911.1 The Euclidean Case....................................... 14011.2 The Elliptic Case......................................... 14211.3 The Hyperbolic Case...................................... 144Contents xvI I I I I I I __ I II Ilml11.4 Coxeter Groups . ......................................... 14612. Regular Polytopes.......................................... 15512.1 The Standard Examples................................... 15612.2 The Exceptional Types in Dimension Four................... 15812.8 Three Concepts and a Theorem ............................ 16012.4 Schliifli's Theorem ........................................ 1ogSolutions ....................................................... 167Guide to the Literature......................................... 187Index of Notation .............................................. 1OlIndex........................................................... 105
對稱群
無法區別上下腳標理解起來比較麻煩
群的基本概念
一個分子具有的全部對稱元素構成一個完整的對稱元素系，和該對稱元素系對應的全部對稱操作形成一個對稱操作群，群是按照一定規律相互聯繫著的一些元(又稱元素)的集合，這些元可以是操作、數字、矩陣或算符等。連續做兩個對稱操作即和這兩個元的乘法對應。 若對稱操作A,B,C,…的集合G={A,B,C,…}同時滿足下列四個條件，這時G形成一個群。
(1)封閉性：指A和B若為同一群G中的對稱操作，則AB=C，C也是群G中的一個對稱操
作。
(2)主操作：在每個群G中必有一個主操作E，它與群中任何一個操作相乘給出AE=EA=A
(3)逆操作：群G中的每一個操作A均存在逆操作A-1，A-1也是該群中的一個操作。逆操作
是按原操作途徑退回去的操作。AA-1=A-1A=E
分子點群及分類
在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空間排列是對稱的圖象，利用對稱性原理探討分子的結構和性質，是人們認識分子的結構和 性質的重要方法。分子對稱性是聯繫分子結構和分子性質的重要橋樑。分子點群大致可分為幾類：Cn、Cnv、CNH、Dn、Dnh、Dnd及高階群。
對稱1.Cn點群
Cn群只有1個Cn鏇轉軸。獨立對稱操作有n個，階 次為n。若分子只有n重鏇轉軸，它就屬於Cn群，群元素為{E，Cn，Cn 2…Cnn-1}。這是n階循環群。最簡單的點群C1隻含一個主操作E， 它包括所有不對稱分子和分子構型，所以這類分子都有手性。比如：CH3CH2CHBrCH3，葡萄糖等。
2.Cnh點群
Cnh點群分子Cnh群中有1個Cn軸，垂直於此軸有1個σh。階次為2n。C1h點群用Cs記號。若分子有一個n重鏇轉軸和一個垂直於軸 的水平對稱面就得到Cnh群，它有2n個對稱操作，{E，Cn，CN2……Cnn-1，σn，Sn2……Snn-1}包括（n-1）個鏇轉、一個反映面， 及鏇轉與反映結合的（n-1）個映轉操作。當n為偶次軸時，S2nn即為對稱中心。
反式二氯乙烯以反式二氯乙烯分子說明C2h點群，C=C鍵中點存在垂直於分子平面的C2 鏇轉軸；分子所在平面即為水平對稱面σh；C=C鍵中點還是分子的對稱中心i。 所以C2h點群的對稱操作有四個：{E，C2，σh，i}，若分子中有偶次鏇轉軸及垂直於該軸的水平平面，就會產生一個對稱中心。
3.Cnv點群
Cnv 點群分子示例Cnv群中有1個Cn軸,通過此軸有n個σv。階次為2n。若分子有 n重鏇轉軸和通過Cn軸的對稱面σ，就生成一個Cnv群。由於Cn軸的存在，有一個對稱面，必然產生（n-1）個對稱面。兩個平面交角為π/n。它也是2n階群。
C2 點群的H2O 分子水分子屬C2v點群，C2軸經過O原子、平分∠HOH，分子所在平面是一個σv平面，另一個σv平面經過O原子且與分子平面相互垂直。與水分子類似的V 型分子，如SO2、NO2、ClO2、H2S,船式環已烷、N2H4等均屬C2v點群。其它構型的C2v分子如稠環化合物菲（C14H10），茚，雜環化合物呋喃(C4H4O)吡啶 (C5H5N)等。NH3分子是C3v點群典型例子。C3軸穿過N原子和三角錐的底心， 三個垂面各包括一個N-H鍵。其它三角錐型分子PCl3、PF3、PSCl3、CH3Cl、 CHCl3等，均屬C3v點群，P4S3亦屬C3v點群。CO分子是C∞v點群典型例子。 C∞v軸穿過了C原子和O原子所在的直線，任何一個經過C原子和O原子所在的面都是其σv平面。
4.Sn和Cni點群
對稱分子中有1個In軸，當n為奇數時，屬Cni群；當n為偶數但不為4的整數倍時，屬Cn/2h點群；當n為4的整數倍時，屬Sn點群。分子中只含有一個映轉軸Sn的點群屬於這一類。映轉軸所對應的操作的繞 軸轉2π/n，接著對垂直於軸的平面進行反映。
S1=Cs群：S1=σ、C11=σ即S1為對稱面反映操作，故S1群相當於Cs 群。即對稱元素僅有一個對稱面。亦可記為C1h=C1v=Cs：{E，σ}。這樣的 分子不少。如TiCl2(C5H5)2，Ti形成四配位化合物，2個Cl原子和環戊烯基成對角。又如的六元雜環化合物N3S2PCl4O2亦是屬於Cs對稱性。
Ci群：S2=σ、C2=Ci為繞軸鏇轉180°再進行水平面反映，操作結果相當於一個對稱心的反演。故S2群亦記為Ci群。例如Fe2(CO)4(C5H5)2，每個Fe與一個羰基，一個環戊烯基配位，再通過兩個橋羰基與另一個Fe原子成鍵，它屬於Ci對稱性。S3=σC3=C3+σ
S4點群：只有S4是獨立的點群。例如：1,3,5,7-四甲基環辛四烯，有一個S4映轉軸，沒有其它獨立對稱元素，一組甲基基團破壞了所有對稱面及C2軸。
5.Dn點群
Dn點群和三葉草環，該點群分子都具有手性。Dn群由1個Cn軸和垂直於此軸的n個C2軸組成，階次為2n。 如果某分子除了一個主鏇轉軸Cn(n≥2)之外，還有n個垂直於Cn軸的二次 軸C2，則該分子屬Dn點群。
6.Dnh點群Dnh群
對稱由Dn群的對稱元素系中加入垂直於Cn軸的σh組成。若Cn奇數軸，將產生I2n和n個σv，注意這時對稱元素系中不含對稱中心i。若Cn 為偶數軸，對稱元素系中含有In，n個σv和i。Dnh分子含有一個主鏇轉軸Cn （n>2），n個垂直於Cn軸的二次軸C2，還有一個垂直於主軸Cn的水平對稱面σh；由此可產生4n個對稱操作：{E，Cn，Cn2，Cn 3…Cnn-1；C1(1)，C2(2)…C2(n)；σh，Sn1，Sn2，…Snn-1；σv(1)，σv(2)…σv(n)｝Cn鏇轉軸產生n個鏇轉操作，n個C2 (i)軸鏇轉產生n個鏇轉操作，還有對稱面反映及（n-1）個映轉操作，n個通過Cn主軸的垂面σv的反映操作。故Dnh群為4n階群。
D2h對稱性的分子亦很多，如常見的乙烯分子，平面型的對硝基苯分子 C6H4(NO2)2，草酸根離子[C2O4]2-等。
D3h：平面三角形的BBr3、CO32－、NO3 －或三角形骨架的環丙烷均屬D3h點群。三角雙錐PCl5、三稜柱型的Tc6Cl6(圖VI)金屬簇合物等也是D3h對稱性。
D4h：[Ni(CN)4]2－、[PtCl4]2－等平面四邊形分子屬D4h對稱性，典型的金屬四重鍵分子Re2Cl8 2－，兩個Re各配位四個Cl原子，兩層Cl原子完全重疊，故符合D4h對稱性要求。
D5h：重疊型的二茂鐵屬D5h對稱性(平行的)，IF7、UF7離子為五角雙錐構 型，也屬D5h對稱性。
D6h：點群以苯分子為例，苯的主軸位於苯環中心垂直於分子平面，6個二 次軸，3個分別經過兩兩相對C-H鍵，3個分別平分6個C－C鍵。分子平面 即σh平面，6個σv垂面分別經過6個C2軸且相交於C6軸。苯環屬於D6h對 稱群，共有4×6＝24階對稱操作，是對稱性很高的分子。二苯鉻（重疊型）也是D6h對稱性。
D∞h：同核雙原子分子H2、N2、O2等，或中心對稱的線型分子CO2、CS2、 C2H2、Hg2Cl2等屬於D∞h對稱性。在分子軸線存在一個C∞軸，過分子中心又有 一個垂直於分子軸的平面，平面上有無數個C2軸⊥C∞軸，還有無數個垂面σv 經過並相交於C∞軸。
7.Dnd點群Dnd群
Dnd 點群示例由Dn群的對稱元素系和通過Cn有平分2個C2軸的夾角的n個σd組成。若Cn奇數軸，對稱元素系中含有Cn，n個C2，n個σd，i和In，若Cn為偶數軸，對稱元素系中含有Cn，n個C2，n個σd和I2n，注 意這時不包含對稱中心i。一個分子若含有一個n重鏇轉軸Cn及垂直於Cn軸n個2次軸，即滿足Dn群要求後，要進一步判斷是Dnh或Dnd，首先要尋找有否 垂直於Cn主軸的水平對稱面σh。若無，則進一步尋找有否通過Cn軸並平分C2軸的n個σd垂直對稱面，若有則屬Dnd點群，該群含4n個對稱操作。以丙二烯為例說明。沿著C=C=C鍵方向有C2主軸，經過中心C原子垂直於C2軸的2個C2軸，與兩個平面成45°交角。但不存在一個過中心D、垂直於主軸的平面，故丙二烯分子屬D2d而不是D2h。D4d：一些過渡金屬八配位化合物， ReF8 2－、 TaF8 3－和Mo(CN)8 3+等均形成四方反稜柱構型，它的對稱性屬D4d。
8.T，Th和Td點群
T，Th 和Td 點群示例這些是四面體群，其特點是都含有4個C3軸，按立方體體對角線排列。T點群由4個C3，和3個C2組成。Th點群由4個C3和3個C2，3個σh（它們分別和3個C2軸垂直）和i組成。Td點群由4個C3，和3個I4（其中含有C2）和6個σd（分別平分4個C3軸的夾角）組成，注意其中不包含對稱中心i。
T群：當一個分子具有四面體骨架構型，經過每個四面體頂點存在一個C3 鏇轉軸，4個頂點共有4個C3軸，聯結每兩條相對棱的中點，存在1個C2軸，六條棱共有3個C2軸，可形成12個對稱操作：｛E，4C3，4C32，3C2｝。這些對稱操作構成T群，群階為12。T群是純鏇轉群,不含對稱面,這樣的分子很少。
Th群：當某個分子存在T群的對稱元素外，在垂直C2軸方向有一對稱面，3個C2軸則有3個對稱面，C2軸與垂直的對稱面又會產生對稱心。這樣共有24個對稱操作｛E，4C3，4C32，3C2，I，4S6，4S65，3σh｝，這個群稱Th群，群階為24。
Td群：若一個四面體骨架的分子，存在4個C3軸，3個C2軸，同時每個C2軸還處在兩個互相垂直的平面σd的交線上，這兩個平面還平分另外2個C2軸（共有6個這樣的平面）則該分子屬Td對稱性。對稱操作為｛E，3C2，8C3，6S4，6σd｝共有24階。這樣的分子很多。四面體CH4、CCl4對稱性屬Td群，一些含氧酸根SO4 2－、PO4 3－等亦是。在CH4 分子中，每個C－H鍵方向存在1個C3軸，2個氫原子連線中點與中心C原子間是C2軸， 還有6個σd平面。
9.O和Oh點群
這些是八面體群，其特點是都含有3個C4軸，O群由3個C4，和4個C3和6個C2組成。Oh群由3個C4，和4個 C3和6個C2，3個σh（分別和3個C4軸垂直），6個σd（分別平分4個C3軸的夾角）和i等組成。分子幾何構型為立方體、八面體的， 其對稱性可屬於O或Oh點群。
Oh 點群示例O群：立方體與八面體構型可互相嵌套，在立方體的每個正方形中心處取一個頂點,把這六個頂點連線起來就形成八面體。經過立方體兩個平行面的中心，存在1個C4鏇轉軸，共有3組平行面，所以有3個C4軸。通過相距最遠的兩個頂點有1個C3軸，共有4個C3軸，3個C4軸與4個C3軸構成了24個對稱操作，{E，6C4，3C2 '，6C2，8C3}，構成純鏇轉群O群。O群的C4軸對八面體構型來說，存在於兩個對立頂點之間。6個頂點就有3個C4軸，聯結兩個平行的三角面的中心，則為1個C3軸，共有8個三角面，就有4個C3軸.。 對稱性為O群的分子較少。
Oh群：一個分子若已有O群的對稱元素（4個C3軸，3個C4軸），再有一個垂直於C4軸的對稱面σh，同理存在3個σh對稱面，有C4軸與垂直於它的水平對稱面，將產生一個對稱心I，由此產生一系列的對稱操作，共有48個：{E，6C4，3C2，6C2'，8C3，I，6S4，3σh，6σv，8S6}這就形成了Oh群，它包括八面體和立方體。屬於Oh群的分子有八面體構型的SF6、WF6、Mo(CO)6，立方體構型的OsF8、立方烷C8H8，還有一些金屬簇合物對稱性屬Oh點群。例如Mo6Cl8
4+或Ta6Cl12 2+，這兩個離子中，6個金屬原子形成八面體骨架，Cl原子在三角面上配位，或在棱橋位置與M配位，還有一種立方八面體構型的分子對稱性也屬Oh群。
10.I和Ih點群
這些是二十面體群，其特點是都含有6個C5軸。I點群由6個C5，10個C3 或15個C2組成。Id點群由6個C5，10個C3或15個C2，15個σ和i組成。Id點群有時又稱Ih 點群。正二十面體與正十二面體具有完全相同的對稱操作。（將正十二面體的每個正五邊形的中心取為頂點，聯結起來就形成嚴格正二十面體。反之，從正二十面體每個三角形中心取一個頂點，聯結起來就形成一個正十二面體。）
Ih 群的C60 和I 群的脊髓灰質炎病毒I群：現以十二面體為例說明；聯結十二面體兩個平行五邊形的中心，即是多面體的一個C5 對稱軸，共有12個面，即有6個C5軸，聯結十二面體相距最近的兩個頂點，則為C3軸，共有20 個頂點，故有10個C3軸。經過一對棱的中點，可找到1個C2軸，共有30條棱，所以有15個C2 軸。6個C5軸、10個C3軸、15個C2軸共同組成了I群的60個對稱操作：{E，12C5，12C5 2，20C3，15C2}，I群的一個60階的純鏇轉群。屬於I群的分子很少，典型的是脊髓灰質炎病毒。
Ih群：在I群對稱元素基礎上，增加一個對稱心，即可再產生60個對稱操作，形成120個對 稱操作的Ih點群：{E，12C5，12C5 2，20C3，15C2，i，12S10，12S10 3，20S6，15σ}。正十二面體 和正二十面體的構結屬於這個點群，C60也屬Ih點群。
分子所屬點群的判別
要確定一個對稱分子屬於那種點群可以根據這張圖的步驟來判斷一個分子的對稱性一定屬於上述10類點群中的一種。首先查看是否是線性的，再查看有無多個高次軸Cn：注意有無6個C5，或3個C4，或4個C3，以區分二十面體群，八面體群，四面體群。再查看有無一個n≥2的Cn軸，n個C2軸，垂直Cn軸的σh，平分C2軸的σd，以區分Dn，Dnh，Dnd；進一步區分只有一個In軸的點群Sn和Cni；區分只有一個Cn軸的Cn，Cnh和Cn v等。
所有分子都可以歸納為這些對稱點群的分類，用群論的方法來處理這樣的對稱性是在分子的尺度上忽略了原子的差異性的。這些分子又構成了大分子體系以及細胞和生物體，對稱性並沒有因為系統的非線性疊加而消失；由於系統的自相似性存在，這樣的對稱性在將一直延伸到 巨觀世界。比如：Ih點群正二十面體的噬菌體，I點群的脊髓灰質炎病毒等都有著類似分子的對稱性（忽略病毒各個面分子的差異性）。
雪花總是呈現六邊形嚴格對稱還有水分子由於氫鍵連結形成的對稱結構，由於空間平移的不變性在巨觀表現為對稱六邊形的雪花；六邊形結構是穩定性與對外接觸吸收更多水分相 妥協結果。因為雪花的形成過程是混沌的，所以世界上沒有兩片完全相同的雪花，但雪花都是對稱的。當然，巨觀的事物相對微觀的角度來觀察，差異性是必然存在的；而微觀的事物相對巨觀的角度來觀察，則是忽略這樣的差異性，而表現出來的緊密對稱性。
對稱性的擴張（symmetryexpanded）
很多自然界的形狀又都包含著諸多對稱性操作的擴張。事物的對稱性，並不僅僅是一種點 群的歸納，事物的的發展往往伴隨對稱性的擴張。1952年外爾（H.Weyl）提出用數學處理相似 對稱的方法。他定義了兩個相似變換的平面E2：一個中心擴張（簡稱擴張）和擴張鏇轉，且限 制擴張係數k>0，他使空間等距、平移和扭轉分別建立了聯繫。即平移對稱和鏇轉對稱的疊代， 這種操作無限疊代構成Σ群。他的分析是基於滿足自然界的相似性。像鸚鵡螺那樣按照對數螺 鏇（位矢與切線間的夾角保持恆定）其形狀始終保持不變,鸚鵡螺的螺鏇中暗含了菲波納切數列， 而菲波納切數列的兩項間比值也是無限接近黃金分割數的。
鸚鵡螺的螺鏇中暗含了菲波納切數列在平面相似對稱理論的進一步發展是許勃尼科夫(A.V.Shubnikov)，他指出所有的相似性變換平面E2：中心擴張k，膨脹鏇轉L和擴張反映M，都源於鏇轉和反映；並衍生出五種相似對稱群，CnK,CnL,CnM,DnK,DnL,；DnL與DnM是一致的。更多內容可以參見SlavikV.Jablan的《對稱性和裝飾》、KlausMainzer的《對稱性與複雜性——熱情而美麗的非線性科學》以及Hermann Weyl的《對稱性》。
藝術與對稱
埃舍爾荷蘭畫家埃舍爾（M.C.Escher）的騎士圖對鏡象反射加上黑白置換和必要的平移操作才構成對稱操作。對稱性的擴張是通過聯合對稱性操作實現的，從簡單到複雜，對稱性的擴張也都是由幾種對稱性操作而組成。簡單的對稱點群，通過對稱操作形成了複雜的對稱圖案，而這樣的對稱性擴張不僅僅是在幾何意義上的。在經濟學中對稱性是一個功能原則；在社會學中是一個動態原則。
在社會學中對稱性擴張的結果就 是平衡，例如民主與劃分力量平衡的洛克自由主義影響了美國和法國的憲法。
音樂必要成分的創作是另一種藝術，這包括：結構、形式、組織、和諧、比例、平衡。是否有一個創作音樂的普遍原理，即音樂的部分組織成為一個整體？拉里·所羅門(LarryJ.Solomon)在他的博士論文中提出一個觀點，對稱性就是這樣的一個普遍原則。音樂的關係組成在不同國家文化、歷史、種族中，大部分是基於對稱性建立的。
對稱性的觀念並不只限於基礎數學、物理，他還包括藝術，文化和經濟等；對稱性原則是一般性原則的決定原則。對稱群中的反映、鏇轉和平移操作一樣可以套用於其他領域。在樂譜中時間代表水平線，如果關於軸對稱其結果是與原來全等，而滿足了反射對稱的條件。在三維軸（或三個層面，音高、時間、動態）反映成為平面，大多數音樂劇的形式只限於兩個變數，我們可以在二維空間中參考他們的圖樣，音樂符號在音調軸和音高軸同樣可以對稱，音高在音符代表垂直。
