高斯整數

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。

定義

高斯整數是實數部分（實部）和虛數部分（虛部）都是整數的複數。也就是複平面中點集{a+bi|a,b 都是整數}。

性質

所有高斯整數組成了一個整環，寫作Z。它是個不可以轉成有序環的歐幾里德整環，所以是唯一因子分解整環。 也就是在這個整環中，如同整數集一樣，可以存在唯一因子分解定理。

高斯素數

1, −1, i及−i都是高斯整環裡面的單位元。除此之外，在高斯整環裡面不能因子分解的數稱為高斯素數。高斯素數分為兩類，其中一類是形式為4n+3（n是整數）的普通素數，如3，7等，它們在高斯整環裡面也不能夠因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素數如5，13等，在高斯整環裡面都可以唯一因子分解成兩個共軛的高斯素數的乘積，如5=(2+i)(2-i)，。需要注意的是，這裡我們也可以寫成5=(1+2i)(1-2i).這個是因為(2-i)i=1+2i,而i是單位元，所以我們可以認為這兩種分解是等價的。此外，素數2也可以分解，即2=(1+i)(1-i)。