馬爾柯夫過程和風險估計
由於風險過程常常伴隨一定的隨機過程，而在隨機過程理論中的一種重要模型就是馬爾柯夫過程模型。
馬爾柯夫預測法
馬爾柯夫預測以俄國數學家A.A.Markov名字命名，是利用狀態之間轉移機率矩陣預測事件發生的狀態及其發展變化趨勢，也是一種隨時間序列分析法。它基於馬爾柯夫鏈，根據事件的目前狀況預測其將來各個時刻（或時期）的變動狀況。
1.馬爾柯夫鏈。狀態是指某一事件在某個時刻（或時期）出現的某種結果。事件的發展，從一種狀態轉變為另一種狀態，稱為狀態轉移。在事件的發展過程中，若每次狀態的轉移都僅與前一時刻的狀態有關，而與過去的狀態無關，或者說狀態轉移過程是無後效性的，則這樣的狀態轉移過程就稱為馬爾柯夫過程。馬爾柯夫鏈是參數t只取離散值的馬爾柯夫過程。
2.狀態轉移機率矩陣。在事件發展變化的過程中，從某一種狀態出發，下以時刻轉移到其他狀態的可能性，稱為狀態轉移機率，只用統計特性描述隨機過程的狀態轉移機率。
若事物有n中狀態，則從一種狀態開始相應就有n個狀態轉移機率，即。
將事物n個狀態的轉移機率一次排列，可以得到一個n行n列的矩陣：
3.馬爾柯夫預測模型。一次轉移機率的預測方程為：
式中：K——第K個時刻；
S（K）——第K個時刻的狀態預測；
S（0）——對象的初始狀態；
P——一步轉移機率矩陣。
套用馬爾柯夫預測法的基本要求是狀態轉移機率矩陣必須具有一定的穩定性
4.1馬爾柯夫過程
在一個隨機過程中，對於每一t0時刻，系統的下一時刻狀態機率僅與t0時刻的狀態有關，而與系統是怎樣和何時進入這種狀態以及t0時刻以前的狀態無關（即所謂無後效性），這種隨機過程稱為馬爾柯夫隨機過程。
對隨機過程X（t）取確定的n＋1個時刻t0＜t1＜t2＜…＜tn，對應實數x0，x1，x2，…，xn，如果條件分布函式滿足：
則隨機過程X（t）即為馬爾柯夫過程的數學描述。
依過程參數集和狀態集的離散與連續性，馬爾柯夫過程可分為馬爾柯夫鏈－時間和狀態均離散的過程、連續馬爾柯夫鏈－時間連續和狀態離散、連續馬爾柯夫過程－時間連續和狀態連續。
4.2馬爾柯夫過程與風險估計
從定義中可知，確定某一時刻的風險狀態後，該風險轉移的下一個狀態所服從的機率規律，可以用馬爾柯夫過程的數學描述估計出來。馬爾柯夫風險過程的重要假定是在一定時間和客觀條件下，風險狀態的轉移機率固定不變。轉移機率是在給定時刻風險狀態相關之下的下一時刻條件機率；轉移機率構成的矩陣稱為轉移矩陣，矩陣中各元素具有非負性，而且行的和值為1。
例如某雷達每次開機狀態記錄如表4所示。由於雷達下一次開機狀態只與現在的開機狀態有關，而與以前的狀態無關，所以它就形成了一個典型的馬爾柯夫鏈。
取P11—開機連續正常狀態的機率，P12—由正常狀態轉不正常的機率，P21—由不正常狀態轉正常的機率，P22—開機連續不正常狀態的機率。由表4可知，在23次開機狀態統計中，11次開機正常，3次連續正常，7次由正常轉不正常；12次開機不正常，4次連續不正常，8次由不正常轉正常；由於最後一次統計狀態是開機正常狀態，沒有後繼狀態，所以P11＝3／（11－1）＝0.3，P12＝7／（11－1）＝0.7，P21＝8／12＝0.67，P22＝4／12＝0.33因為最後一次統計是正常狀態，所以不正常狀態的總數不減一。
表4某雷達每次開機狀態記錄表
類別開機次序
1234567891011121314151617181920212223
開機狀態不正常正常正常不正常正常不正常不正常不正常常不正常常不正常不正常正常正常不正常正常不正常不
正常正常正常不正常正常
狀態取值21121222121221121221121
由此產生出一步轉移機率矩陣：
這種依據初始狀態的結果，利用固定的轉移機率推算出下次結果的過程稱為一階馬爾柯夫過程，依此類推有二階、……乃至n階馬爾柯夫過程。這一連串的轉移過程就是馬爾柯夫鏈。n階馬爾柯夫過程的結果機率向量等於最初結果機率向量乘以轉移機率的n次冪：
轉移機率矩陣P為：
顯然，第24次開機狀態就是下一輪統計的初始狀態，假設第24次統計為開機正常狀態，正常狀態取值k＝1，不正常狀態取值k＝2；則＝1（機率為1），＝0（機率為0）。所以，第25次統計狀態為：
第26次統計狀態為：
以此類推，……；在轉移機率固定不變的條件下，當轉移次數n足夠大時，統計結果機率向量趨於穩定狀態，當n繼續增大時，穩定的機率向量基本保持不變，顯然在漸進過程中穩定的機率向量取決於固定的轉移機率而與初始機率向量大小無關。示例中固定的轉移機率大小源於該雷達研製和生產過程的可靠性。
由此可求出穩定的機率向量：
設S（∞）＝（x1，x2），則有
根據矩陣乘法規則可得到下列聯立方程組：
求解得：x1＝0.49，x2＝0.51。S（∞）＝（0.49，0.51）。也就是說，該雷達由於可靠性決定了它的每次開機狀態平均正常狀態（k＝1）的機率為0.49，不正常狀態（k＝2）的機率為0.51。
示例中給出的初始機率向量為S（0）＝（1，0）這一特殊情況，若其向量機率值是介於0～1之間值時，初始機率向量將決定統計過程的最小次數，因為S（0）決定了馬爾柯夫過程中達到穩定平衡狀態的速度。如示例中S（n）的n階次值分別為：
S（3）＝（0.46317，0.53683）
S（4）＝（0.4986271，0.5013729）
S（5）＝（0.485507973，0.514492027）
S（6）＝（0.49036205，0.50963795）
S（7）＝（0.488566042，0.511433959）
S（8）＝（0.489230566，0.510769436）
……
最小次數n取5或6即可。
從以上示例可以看出，對於武器裝備在論證、研製和生產中形成的可靠性、維修性因素和那些臨時替代裝備等，具有性能等方面的重複性，其轉移機率是基本固定的一類風險，套用該方法十分有效。而對於需求類風險和絕大多數風險來說，轉移機率並不固定，只是在不同時期具有一定的階段固定性，我們可以找分階段地運用此方法進行分析。這對於研究長遠發展戰略、規劃、計畫等預測過程中，帶有階段性轉移機率特徵的風險是非常有用的。馬爾柯夫轉移矩陣法
基本思路：通過具體歷史數據的收集，找出過去人事變動的規律，由此推測未來的人事變動趨勢。它的典型步驟如下：
(1)根據組織的歷史資料，計算出每一類的每一員工流向另一類或另一級別的平均機率；
(2)根據每一類員工的每一級別流向其他類或級別的機率，建立一個人員變動矩陣表；
(3)根據組織年底的種類人數和步驟(2)中人員變動矩陣表預測第二年組織可供給的人數。
對事件的全面預測，不僅要能夠指出事件發生的各種可能結果，而且還必須給出每一種結果出現的機率。
馬爾可夫（Markov）預測法，就是一種預測事件發生的機率的方法。它是基於馬爾可夫鏈，根據事件的目前狀況預測其將來各個時刻（或時期）變動狀況的一種預測方法。馬爾可夫預測法是對地理、天氣、市場、進行預測的基本方法，它是地理預測中常用的重要方法之一。
馬爾可夫過程：
在事件的發展過程中，若每次狀態的轉移都僅與前一時刻的狀態有關，而與過去的狀態無關，或者說狀態轉移過程是無後效性的，則這樣的狀態轉移過程就稱為馬爾可夫過程。
例如：
例1：人民生活水平可分為三種水平狀態：溫飽、小康、富裕。
例2：企業經營狀況可分為：盈利、不盈不虧、虧損。
例3：商品銷售狀況可分為：暢銷、平銷、滯銷。
狀態轉移舉例：
公式說明：
設系統有N個狀態Ei（i=1，2，…，N），以狀態變數xt=i表示在時刻tn處於Ei（i=1，2，…，N），如果系統在時刻tn處於Ei而在時刻tn+1轉移到Ej的機率只與Ei有關而與tn以前處的狀態無關，則此機率可表示為：
Pij=P（Ei→Ej）=P（xn+1=j∣xn=i）
並稱為一步轉移機率。
0≤Pij≤1
∑Pij=1
所有Pij構成的矩陣為（矩陣圖，略）：
預測模型：
設系統有N個狀態Ei（i=1，2，…，N），用Pi表示系統在k時期處於狀態Ei（i=1，2，…，N）的機率，所有機率所構成的向量，稱為狀態機率向量。
其中：0≤Pi（k）≤1（i=1，2，…，N）
∑Pi（k）=1
當k=0時，反映系統在初始時狀態機率的分布情況，稱為起始狀態機率分布。
由S（k+1）=S（k）P可得遞推關係（矩陣圖，略）：
所以，馬爾柯夫預測法的步驟應該為：
1、確定系統的狀態Ei和S（0）；
2、確定P；
3、進行預測：S（k）=S（0）Pk
參考資料：
1.教育原理
