謝爾賓斯基三角形

謝爾賓斯基三角形

謝爾賓斯基三角形(英語:Sierpinski triangle)是一種分形,由波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。它的豪斯多夫維是log(3)/log(2) ≈ 1.585。

構造

去掉中心

1.取一個實心的三角形。(多數使用等邊三角形)

2.沿三邊中點的連線,將它分成四個小三角形。

3.去掉中間的那一個小三角形。

4.對其餘三個小三角形重複1。

取一個正方形或其他形狀開始,用類似的方法構作,形狀也會和謝爾賓斯基三角形相近。

Chaos Game

用隨機的方法(Chaos Game),都可得到謝爾賓斯基三角形:

任意取平面上三點A,B,C,組成一三角形

任意取三角形ABC內的一點P,畫出 該點

畫出 P和三角形其中一個頂點的中點

重複1

1.

任意取平面上三點A,B,C,組成一三角形

2.

任意取三角形ABC內的一點P,畫出 該點

3.

畫出 P和三角形其中一個頂點的中點

4.

重複1

L系統

下圖展示了曲線如何逼近謝爾賓斯基三角形。

圖1.曲線逼近 圖1.曲線逼近

這條曲線以L系統來記述為:

變數: A , B 常數: + , - 公理: A 規則: A → B-A-B B → A+B+A A,B : 向前

- : 左轉60°

+ : 右轉60°

其他

先作一個正三角形,挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形),然後在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”,我們用黑色三角形代表挖去的面積,那么白三角形為剩下的面積(我們稱白三角形為謝爾賓斯基三角形)。如果用上面的方法無限連續地作下去,則謝爾賓斯基三角形的面積越趨近於零,而它的周長越趨近於無限大(如圖)。

若設操作次數為n(每挖去一次中心三角形算一次操作),則剩餘三角形面積公式為:4的n次方分之3的n次方。

將邊長為1的等邊三角形區域,均分成四個小等邊三角形,去掉中間一個,然後再對每個小等邊三角形進行相同的操作得……,這樣的操作不斷繼續下去直到無窮,最終所得的極限圖形稱為謝爾賓斯基墊片。謝爾賓斯基墊片的極限圖形的面積趨於零,而小圖形的數目趨於無窮,作為小圖形的邊的線段數目趨於無窮,實際上是一個線集。操作n次後邊長r=(1/2)n,三角形個數N(r)=3 n,根據公式N(r)=1/rD,3n=2Dr,D=ln3/ln2=1.585。所以謝爾賓斯基墊片是1.585。它比普通的一維直線占據了更多空間,但還是沒有二維正方形占據的那么多,可以用等比數列的知識求出他的面積是0。

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