概述
波爾查諾-維爾斯特拉斯定理數學分析是研究函式性態的一門學科。緻密性定理主要研究函式的連續性、可導性、可微性、可積性等。其研究函式的基本方法是極限,而用極限方法分析處理數學問題,從方法論講是區別於初等數學的顯著標誌。
數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限,極限概念是數學分析中最重要的概念,極限理論是數學分析的基礎理論。
在極限論中,有八個基本的定理:Dedekind分割原理、確界定理、單調有界原理、閉區間套定理、Borel有限覆蓋定理、Weierstrass聚點定理、Cauchy收斂準則、緻密性定理。
證明
證明：設{xn}為有界數列。若{xn}中有無限多個相等的項，則由這些項組成的子列是一個常數列，而常數列總是收斂的。
若數列{xn}不含有無限多個相等的項，則{xn}在數軸上對應的點集必為有界無限點集，故由聚點定理，點集{xn}至少有一個聚點，記為ξ。存在{xn}的一個收斂子列（以ξ為其極限）。
分析的嚴格化―――定理的出現十七世紀,微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茨各自獨立發現,推動了科學技術的發展。一方面,微積分在套用中大獲成功;一方面其自身卻存在著邏輯矛盾。至十九世紀,由十七、十八世紀積累下來的矛盾到了非解決不可的程度。於是,在眾多數學名家的努力下,提出了七個實數基本定理。
定理表述如下:
(1)實數基定理:對 R的每一個分劃 A |B,都 v唯一的實數 r,使它大於或等於下類 A中的每一個實數,小於或等於上類 B中的每一個實數。
(2)確界定理:在實數系 R內,非空的有上 (下 )界的數集必有上 (下)確界存在。
(3)單調有界原理:若數列 { xn }單調上升有上界,則{ xn }必有極限
(4)區間套定理:設 { [ an, bn ] }是一個區間套,則必存在唯一的實數 r,使得 r包含在所有的區間裡,即 r∈ I∞n = 1[ an, bn ]。
( 5)有限覆蓋
定理:實數閉區間 [ a, b ]的任一覆蓋 E,必存在有限的子覆蓋。
( 6)緻密性
(7)柯西收斂定理:在實數系中,數列{ xn }有極限存在的充分必要條件是: P Š > 0, vN,當 n >N, m
>N時,有 | xn - xm | < Še
方法
緻密性定理緻密性定理的不同證明方法
1. 用確界定理證明緻密性定理
2. 用區間套定理證明緻密性定理
3. 用有限覆蓋定理證明緻密性定理
4. 用柯西收斂定理證明緻密性定理
