定律定義
聚點
定義1（經典含義）：設S為數軸上的點集，ξ為定點（它可以屬於S，也可以不屬於S）。若ξ的任何ε鄰域內都含有S中的無窮多個點，則稱ξ為點集S的一個聚點。
定義2（拓撲含義）：對於點集S，若點ξ的任何ε鄰域內都含有S中的異於ξ的點，或點ξ的任何ε去心鄰域內都含有S中的點，則稱ξ為S的一個聚點。
定義3（極限含義）：對於點集S，如果在S中存在一個各項互異且收斂的數列{x}，則{x}的極限ξ為S的一個聚點。
這些定義在數軸上是等價的，即互為充要條件，但是這些定義稍有不同，具體的不同稍後會提及。
聚點定理
聚點定理經典形式：實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點。
聚點定理一般形式：列緊空間的任何序列都含有收斂子列（繼而含有聚點，但是這個聚點不一定還在這個空間中）。
推導過程
聚點定理
由於聚點定理反應了實數的完備性，故由實數公理——戴德金定理進行證明。
已知S是數軸上一有界無限點集，即S⊆[a,b]。
聚點定理
聚點定理設有一個實數集A，A中的任一元素c滿足：區間中最多有S中的有限項，而S中的無限項都落在。
並把A在R中的補集設為B，則：
聚點定理①顯然 ，因此，A、B都非空。
聚點定理② 。
聚點定理③根據數集A的定義， 。
聚點定理又根據數集B的定義， 。
聚點定理∴必有 。
由戴德金定理得，存在唯一實數η是A、B的分界點，並且要么η是A中的最大值，要么η是B中的最小值。
聚點定理
聚點定理
聚點定理 聚點定理 聚點定理
聚點定理
聚點定理如果η是A中的最大值，那么 。由於上僅有S中的有限個點，故上有S中的無數個點。否則，如果只有S中的有限個點，那么因為上僅有S中的有限個點，所以上也僅有S中的有限個點。這樣一來就導致 ，矛盾。根據聚點的定義，η為S的聚點。
聚點定理
聚點定理
聚點定理 聚點定理
聚點定理
聚點定理
聚點定理如果η是B中的最小值，那么 ，因此在區間上僅有S中的有限個點。那么在區間上就有S中的無數個點。否則，如果上只有S中的有限個點，那么因為區間 上僅有S中的有限個點，所以上也僅有S中的有限個點。這樣一來就導致 ，與η是B中的最小值矛盾。根據聚點的定義，η為S的聚點。
緻密性定理
緻密性定理：有界數列必有收斂子列。
緻密性定理和聚點定理是等價的，可以由聚點定理直接推出緻密性定理（當然也可以由緻密性定理推出聚點定理），因此有的書上把緻密性定理作為聚點定理的推論來介紹。但由於緻密性定理和聚點定理一樣，都反應了實數的連續性，所以依然可以用實數公理來進行推導。
以下給出一個聚點定理推出緻密性定理的步驟。
聚點定理 聚點定理若有界數列中含有無數個相同的項，取這些相同的項構成的一個子列，則該子列為常數列，而常數列總是收斂的。
聚點定理 聚點定理 聚點定理 聚點定理假設有界數列中不含有無數個相同的項，則對應在數軸上為一有界無限點集。根據聚點定理，中存在聚點C。於是按照聚點的定義3，存在一個的子列，該子列收斂到C。
發展簡史
牛頓和萊布尼茲創立了微積分，但是當時分析的基礎還極其不完善，這導致了第二次數學危機，直接的結果就是大量優秀的數學家投身到了研究實數基礎的行列中，這其中相當重要的一部分就是實數的完備性公理，實數的完備性公理包括六條，這六條是等價的，而維爾斯特拉斯聚點定理就是其中的一條。
1817年，緻密性定理作為證明介值定理的引理第一次被波爾查諾證明。過了50多年後，其等價命題——聚點定理被發現並由維爾斯特拉斯證明。自此以後，波爾查諾-維爾斯特拉斯定理作為數學分析的一條基本定理被廣泛運用起來。
定律影響
作為分析學早期的經典定理之一，維爾斯特拉斯定理成為了分析的基礎，是研究實數的幾何性質的重要工具，後來，因為它是很多拓撲空間所共有的性質，終於使數學家修正了聚點的原始定義，賦予它拓撲含義，進而建立了列緊性的概念，所謂列緊性就是指：對於距離空間X中的集合M，M的任何序列都含有一個收斂的子序列（這個子序列的極限未必還在M中），列緊性成為衡量距離空間“好壞”的一個重要標準，是研究距離空間的重要幾何概念，維爾斯特拉斯聚點定理的推廣也可以稱為數學定理公理化的一次完美的實踐。
定理套用
作為聚點定理套用的一個例子，上面已經給出了證明緻密性定理的方法。接下來再舉一個例子，採用聚點定理來證明單調有界定理。
已知{x}是一單調遞增且有上界的數列，求證當n→∞時，{x}收斂。
證明：因為{x}單調遞增，故x是其一個下界。又因為{x}有上界，所以{x}有界。
由n→∞且{x}有界可知，此時{x}是一有界無限點集。根據聚點定理，{x}存在一個聚點ξ。
由聚點的定義可知，對任意ε>0，區間(ξ-ε,ξ+ε)內含有{x}的無數個點。又因為{x}是單調遞增的，從而存在正整數N，當n>N時，這無數個點都落在區間(ξ-ε,ξ+ε)內，而只有有限個（最多N個）點落在(ξ-ε,ξ+ε)外。
根據極限的幾何意義，{x}收斂到ξ，這就證明了單調遞增且有上界的數列必有極限。
同理可證單調遞減且有下界的數列必有極限。
