奇點
奇點奇點顯然就是那些時空結構具有某種病態性質(pathologicalbehavior)的時空點。但稍加推敲，就會發現這種說法存在許多問題。首先，“病態性質”是一個很含糊的概念，究竟什麼樣的性質是病態性質呢？顯然需要予以精確化。其次，廣義相對論與其它物理理論有一個很大的差異，那就是其它物理理論都預先假定了一個背景時空的存在，因此，那些理論如果出現奇點-比如電磁理論中點電荷所在處的場強奇點，可以明確標識奇點在背景時空中的位置。但廣義相對論描述的是時空本身的性質。因此在廣義相對論中一旦出現奇點，往往意味著時空本身的性質無法定義。另一方面，物理時空被定義為帶Lorentz度規的四維流形，它在每一點上都具有良好的性質。因此，物理時空按照定義就是沒有奇點的，換句話說，奇點並不存在於物理時空中。
在具有合理物質源的廣義相對論的經典理論中引力坍縮情形中的空間-時間奇性是不可避免的，在一定情形下奇點必須存在——特別是宇宙必須開始於一個奇點。
宇宙開始於一個奇點-結構模型圖 奇點定理
奇點確切地講，奇點定理的證明是要通過這對彼此矛盾的結果來論證以下五個條件不可能同時成立：
時空是測地完備的。
強能量條件成立。
一般性條件成立。
時空滿足時序條件。
時空中存在一個非時序點集S，使得E+(S)與E-(S)緊緻。
限於篇幅，我們只能簡單敘述一下論證的思路。在上述五個條件中，1~3是第三節所介紹的證明奇點定理的第一步所用的條件，由此推知的是每條非類空測地線上都存在共軛對。1和4所推知的-如上文所述-是時空滿足強因果條件。而由強因果條件與5則可以證明這樣一個結果：時空中存在一個包含一條未來不可延拓類時曲線γ及一條過去不可延拓類時曲線λ的全局雙曲區域M。利用這一結果就可以證明時空中存在一條沒有共軛對的非類空測地線。具體的做法是：在λ上取一個沿過去方向趨於無窮的點集an，同時在γ上取一個沿未來方向趨於無窮的點集bn(選取時使得b1在a1的類時未來，從而保證所有bn都在an的類時未來)。由於M是全局雙曲的，因此-如上文所述-在每一對an和bn之間都存在一條(長度最大的)非類空測地線μn，其上在an和bn之間不存在an的共軛點。可以證明，M中的這一由非類空測地線μn組成的無窮集合必定存在一個“聚點”μ，它是一條非類空測地線，並且其上不存在任何共軛對。這樣，我們就得到了與第一步所得的“每條非類空測地線上都存在共軛對”相矛盾的結論，從而證明了上述五個條件不可能同時成立。
既然上述五個條件不可能同時成立，那么我們就可以用其中四個條件為前提(即假定這四個條件成立)，來推翻剩下的那個條件[注二]。Hawking與Penrose所做的是以2~5為前提，來推翻1，即證明時空不是測地完備的。按照我們在第一節所作的定義，這表明時空中存在奇點。這就是Hawking與Penrose的奇點定理。
在被奇點定理採用為前提的2~5中，2~4都有明確的物理意義，唯獨5-即時空中存在一個非時序點集S，使得E+(S)與E-(S)緊緻-顯得很抽象。幸運的是，我們可以用一些物理意義更為明確的條件來取代這一抽象的數學條件。在上文中我們介紹過，如果強能量條件成立，則對於任何封閉陷獲面S，E+(S)與E-(S)緊緻。由於強能量條件已經包含在2~4中了，因此我們可以用“時空中存在封閉陷獲面”來取代5，這個條件在物理上可以由足夠緻密的星體來滿足。除此之外，Hawking與Penrose還提出了另外兩個條件來取代5：一個是“時空中存在緊緻無邊的非時序點集”[注三]，這個條件在物理上可以由空間上有限無邊的宇宙來滿足；另一個是“時空中存在一個點，通過該點的所有未來(或過去)方向的類光測地線束的膨脹標量θ最終將變為負值”，這個條件在物理上可以由局部膨脹或收縮的宇宙來滿足。這三個都是原則上可以檢驗，並且很可能在我們的宇宙中已經得到滿足的條件。
至此，我們可以對Hawking與Penrose所證明的奇點定理做一個完整的表述：
Hawking-Penrose奇點定理:一個時空若滿足以下條件，就必定是非類空測地不完備的(即存在奇點)：
1.強能量條件成立。
2.一般性條件成立。
3.滿足時序條件。
4.以下三個條件之一成立：
a.存在封閉陷獲面。
b.存在緊緻無邊非時序點集。
c.存在一個點，通過該點的所有未來(或過去)方向的類光測地線束的膨脹標量θ最終將變為負值。
歷史發展
奇點這個定理是Hawking與Penrose於1970年提出並證明的。如我們在上文中所說，這並不是最早的奇點定理。Penrose於1965年，Geroch於1966年，Hawking於1967年等都提出過奇點定理。比較之下，Hawking-Penrose奇點定理所要求的條件在物理上最容易實現，並且涵蓋面也廣，因此人們提到奇點定理的時侯通常指的就是這一定理[注四]。Hawking-Penrose奇點定理不依賴於對稱性，它對於確立廣義相對論中奇點的存在性及普遍性來說是非常強有力的，同時它也是對我們在能量條件簡介的引言中所介紹的奇點產生原因之爭的判決性結論。但Hawking-Penrose奇點定理也有一個顯而易見的缺點，那就是它既無法告訴我們究竟哪一條非類空測地線是不完備的，也無法提供有關奇點具體性質的信息。這一缺點為後人加強奇點定理的結論部分留下了空間。不過要想加強奇點定理的結論部分，往往不可避免地要對前提部分也予以加強，從而有損定理的普遍性。
在Hawking-Penrose奇點定理的四個前提中，前提4屬於初始及邊界條件，並且實現的可能性極大。事實上，早在Hawking-Penrose奇點定理提出的年代，天文觀測及理論研究就已經在很大程度上顯示出這個前提的三個子條件很可能部分甚至全部得到滿足。前提1和2與人們在巨觀世界的觀測經驗相符，因為迄今所知的所有巨觀物質的能量動量張量都滿足強能量條件，而現實宇宙中物質(包括宇宙微波背景輻射)及引力波的分布無疑遍及全空間，從而滿足一般性條件，因此在以大尺度巨觀世界為主要描述對象的廣義相對論中，這兩個前提被認為是適用的。前提3所要求的不存在閉合類時曲線也具有不錯的經驗基礎，因為時間的單向性是巨觀世界中最基本的經驗事實之一。因此所有這四個前提都有其可信賴之處，但如果一定要在這些前提中找出一個最有可能在現實物理世界中不成立的，那么-如我們將在後文中看到的-能量條件(即前提1)將是首選，因為理論與觀測都表明它事實上就不成立。不過，能量條件的破壞主要來自量子效應，而我們所討論的奇點定理是經典廣義相對論中的命題，兩者在所涉範圍上有出入。如果我們不考慮量子效應，或者說只考慮經典廣義相對論，又有哪一個前提最值得懷疑呢？一般認為是時序條件(即前提3)。這一條件要求不存在閉合類時曲線。它之所以值得懷疑，主要有兩個原因：一是因為廣義相對論的某些特殊解事實上允許閉合類時曲線存在(參閱時間旅行:科學還是幻想？)，雖然迄今為止那些解還沒有一個得到過任何觀測上的支持；二是由於閉合類時曲線實際上是一種抽象的時間機器，這是一種在很多方面都很引人入勝的東西。因此有些物理學家把廣義相對論沒有在原理層面上禁止閉合類時曲線，視為是一個很值得探索的理論問題。
如果時序條件有可能被破壞，那就產生了一個很自然的問題：即我們是否可以通過作一個與Hawking-Penrose奇點定理不同的選擇，把測地完備性作為定理的前提之一，而把時序條件的破壞(從而允許時空中存在閉合類時曲線)作為定理的結論呢[注六]？對這種可能性物理學家們也進行過一些研究。1977年，美國圖蘭大學(TulaneUniversity)的物理學家F.Tipler研究了漸近平直時空中有限大小的閉合類時曲線，結果發現在強能量條件與一般性條件等條件成立的情況下，這樣的曲線在測地完備時空中是不可能出現的[注七]。其他一些物理學家後來也做了這方面的研究和推廣，包括使用更弱的條件，以及推廣時序破壞的定義等，得到的結果都類似。這些結果成為後來Hawking提出所謂時序保護假設(chronologyprotectionconjecture)的基礎之一。這些結果表明，時序條件的破壞在很大程度上本身就意味著測地完備性的破壞，因而放棄時序條件並不能挽回測地完備性[注八]。這一結果在一定程度上加強了奇點的不可避免性[注九]，也進一步支持了Hawking-Penrose奇點定理的合理性-當然，所有這一切都限於經典廣義相對論的範圍。
