內容簡介
《數學分析(1)》介紹了數學分析的基本概念、基本理論和方法，包括一元(多元)函式極限理論、一元函式微積分學、級數理論和多元函式微積分學等，全書共分三冊，本冊內容包括實數與數列極限、函式與函式極限、函式的連續性、微分與導數、導數的套用、實數集的稠密性與完備性。
《數學分析(1)》可作為高等師範院校數學各專業學生的教學用書。
圖書目錄
第1章 實數與數列極限
1.0 預備知識
1.0.1 一些常用的記號
1.0.2 邏輯命題的否命題
1.0.3 特殊的數集
1.1 實數的基本性質與常用不等式
1.1.1 實數的基本性質
1.1.2 一些常用的不等式
1.2 數列與數列極限的概念
1.2.1 數列的定義
1.2.2 數列極限的定義
1.3 收斂數列的性質
1.3.1 收斂數列的重要性質
1.3.2 無窮小與無窮大數列
1.4 發散數列與子列的概念
1.4.1 發散數列
1.4.2 數列的子列的概念
1.5 確界原理
1.5.1 有界集、上確界和下確界的概念
1.5.2 確界的數列刻畫
1.5.3 數集確界的存在性與唯一性
1.6 數列收斂的判別法
1.6.1 迫斂性定理
1.6.2 單調有界定理
1.6.3 緻密性定理與Cauchy收斂準則
小結
複習題
第2章 函式與函式極限
2.0 預備知識
2.1 映射與函式的概念
2.1.1 映射的概念
2.1.2 函式的概念
2.1.3 函式的四種特性
2.1.4 函式的基本運算
2.1.5 反函式
2.1.6 初等函式
2.2 X→∞時函式極限的概念
2.2.1 引例
2.2.2 x趨於∞時的函式極限的定義
2.2.3 三種函式極限的關係
2.2.4 典型例子
2.3 X→Xo時函式極限的概念
2.3.1 引例
2.3.2 X趨於Xo時函式極限的定義
2.3.3 三種函式極限的關係
2.3.4 典型例子
2.4 函式極限的性質
2.5 函式極限存在的判別法
2.5.1 迫斂性定理
2.5.2 歸結原則——tteine定理
2.5.3 函式的單調有界定理
2.5.4 Cauchy準則
2.6 無窮小量和無窮大量
2.6.1 無窮大量與無窮小量的定義與性質
2.6.2 無窮小量的比較
小結
複習題
第3章 函式的連續性
3.1 連續函式的概念
3.1.1 函式在一點Xo連續的定義
3.1.2 函式的左連續與右連續及區間上的連續函式
3.1.3 典型例子
3.2 函式間斷的概念
3.2.1 間斷點的定義及其分類
3.2.2 典型例子
3.3 連續函式的局部性質與初等函式的連續性
3.3.1 局部性質
3.3.2 初等函式的連續性
3.3.3 套用函式的連續性求函式極限
3.4 連續函式的整體性質
3.4.1 有界性定理和最值定理
3.4.2 零點定理與介值定理
3.4.3 一致連續性定理
小結
複習題
第4章 微分與導數
4.1 微分與導數的概念
4.1.1 微分的概念
4.1.2 導數的概念
4.1.3 可微與可導的關係
4.1.4 可微函式與可導函式
4.2 求導方法與導數公式
4.2.1 用定義求函式的導數
4.2.2 導數的四則運算法則
4.2.3 反函式求導法則
4.2.4 複合函式求導法則
4.3 微分的計算與套用
4.3.1 微分的運算法則
4.3.2 微分在近似計算中的套用
4.4 高階導數與高階微分
4.4.1 高階導數
4.4.2 高階微分
4.5 參數方程所表示的函式的導數
4.5.1 參數方程與函式
4.5.2 用參數方程表示的函式的導數
4.5.3 用極坐標方程表示的曲線的切線
4.5.4 參數方程所表示的函式的高階導數
小結
複習題
第5章 導數的套用
5.1 Fermat定理和Darboux定理
5.1.1 極值的定義與Fermat定理
5.1.2 Darboux定理
5.2 中值定理
5.2.1 Rolle中值定理
5.2.2 Lagrange中值定理
5.2.3 Cauchy中值定理
5.3 不定式極限
5.3.1 L’Hospital法則
5.3.2 其他類型的不定式極限
5.4 Taylor公式
5.4.1 帶Peano型餘項的Tylor公式
5.4.2 帶Lagrange型餘項的Tkylor公式
5.4.3 若干初等函式的Maclaurin公式
5.4.4 Tkylor公式套用舉例
5.5 函式的單調性與凸性
5.5.1 函式的單調性
5.5.2 函式的凸性
5.5.3 曲線的拐點
5.5.4 單調性與凸性的套用——證明一些不等式
5.6 函式的極值與最值
5.6.1 函式的極值
5.6.2 函式的最值
5.7 函式作圖
5.7.1 漸近線
5.7.2 函式圖形的描繪
小結
複習題
第6章 實數集的稠密性與完備性
6.1 實數集的稠密性
6.1.1 兩個實數的大小關係
6.1.2 實數集的稠密性
6.2 實數集的完備性
6.2.1 區間套定理
6.2.2 有限覆蓋定理
6.2.3 聚點定理
6.2.4 實數集完備性基本定理的等價性
6.3 上極限和下極限簡介
小結
複習題
習題答案或提示
參考文獻
附錄
索引
序言
數學分析是數學各專業的學科基礎課，其重要性不言而喻．我們根據多年的教學經驗，在吸取一些現有教材優點的基礎上，編寫了本教材．
現有的各種數學分析教材都有其優點和缺點．本教材力求在可讀性、系統性和邏輯性上能具有特色，並將分層教學的理念貫穿全書．首先，在可讀性方面，對於重要概念只給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習題中．例如，對數列極限，本書只引入了定義，目的是希望學生能吃透這個概念；數列極限的另一個等價定義放在習題中，方便基礎較好的學生學習．對定理的證明，儘量用樸素的方法證明．對書中的例題，表達儘量詳細，讓學生容易自學．對某些定理採取先用後證的方法講述．例如，在第7章，先給出區間上的連續函式必定存在原函式這個結論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給出閉區間上的連續函式必定在上可積這個結論，這樣可以使定積分的計算提前，然後在第8章後面再證明這兩個存在性定理．
