級數
定義




如果級數 各項的絕對值所構成的級數 收斂,則稱級數 絕對收斂,級數 稱為絕對收斂級數。
定理
定理1:絕對收斂級數一定收斂。

定理2:設級數 絕對收斂,且其和等於S,則任意重排後所得的級數也絕對收斂,且有相同的和數。
注意:由條件收斂級數重排後所得的新級數,即使收斂,也不一定收斂於原來的和數。而且,條件收斂級數適當排列後,可得到發散級數,或收斂於事先任意指定的數。
定理3:若級數:




都絕對收斂,則對所有乘積 按任意排列所得的級數 也絕對收斂,且其和等於AB。
判別方法


由定義可知,要知道 是否絕對收斂,只需要看 是否收斂。下面將介紹5種判別級數是否收斂的方法。
(1)【阿貝爾判別法】



若 為單調有界數列,且級數 收斂,則級數 收斂。
(2)【狄利克雷判別法】




若數列 單調遞減,且 ,又級數 的部分和數列有界,則級數 收斂。
(3)【比式判別法】









設 為正項級數,且存在某正整數 及常數q 。若對一切 ,不等式 成立,則級數 收斂;若對一切 ,不等式 成立,則級數 發散。
【推論】








設 為正項級數,且 ,則若 時,級數 收斂;若 或 時,級數 發散;若 ,則無法判斷。
(4)【根式判別法】









設 為正項級數,且存在某正整數 及正常數 。若對一切 ,不等式 成立,則級數 收斂;若對一切 ,不等式 成立,則級數 發散。
【推論】







設 為正項級數,且 ,則若 時,級數 收斂;若 時,級數 發散;若 ,則無法判斷。
(5)【比較原則】







設 和 是兩個正項級數,如果存在某個正數N,對一切n>N,都有: ,若級數 收斂,則,級數 也收斂;若級數 發散,則, 也發散。
無窮積分
定義




1. 若函式 在任何有限區間 上可積,且無窮積分 收斂,則稱 絕對收斂。




2.函式在區間上連續,且無窮限積分收斂,則稱絕對收斂
定理




1. 無窮積分 收斂的充要條件是:任給 ,存在 ,只要 ,便有:



2.收斂的充要條件是:存在上界
判定方法
(1)【比較判別法】


設定義在上的兩個函式f 和 g 都在任意有限區間上可積,且滿足



則當收斂時,必定收斂。
(2)【狄利克雷判別法】






若在上有界,在上當 時單調趨於0,則收斂。
(3)【阿貝爾判別法】




若收斂,在上單調有界,則收斂。
無論無窮級數還是無窮積分,它們都是要么發散,要么條件收斂,要么絕對收斂,三者必居其一。