簡介
本書包括了從乘除法運算及其捷算法到開方、天元術、方程術等當時數學各方面的內容，由淺入深，形成了一個較完整的體系。正文前，列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數加減乘法法則、開方法則等18條作為總括，作為全書的預備知識，其中
《算學啟蒙》本書的正文分3卷，20門，259問。卷上8門，113問，包括各種乘除捷算法和歌訣的套用題，以及各種比例算法。許多問題反映了元代的社會經濟情況。卷中7門，71問，是面積、體積及各種算術問題。卷下5門，75問，是關於分數運算、垛積（即高階等差級數求和）、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中係數變號的問題。
《算學啟蒙》是一部很好的數學教材，它把當時的初級和中級數學知識從乘除口訣開始，包括面積、體積、比例、開方、高次方程、天元術等，有例題，有方法，分門別類，由淺入深，循序漸進，自成系統，確是一部很好的數學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本，朝鮮有李朝世宗十五年（1433）的慶州府刻本，清順治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書，遂請人於北京尋獲金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在揚州刊刻，後來諸版皆依此。
作者簡介
朱世傑（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。朱世傑在當時天元術的基礎上發展出“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創造出“垛積法”，即高階等差數列的求和方法，與“招差術”，即高次內插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。
朱世傑“以數學名家週遊湖海二十餘年”，“踵門而學者雲集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》後序）。朱世傑數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。
《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標誌，其中最傑出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）。
宋元時期，中國數學鼎盛時期中傑出的數學家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世傑﹞四大家”，朱世傑就是其中之一。朱世傑是一位平民數學家和數學教育家。朱世傑平生勤力研習《九章算術》，旁通其它各種算法，成為元代著名數學家。
《算學啟蒙》總括
釋九數法 —一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。
九歸除法 一歸如一進，見一進成十。二一添作五，逢二進成十。三一三十一，三二六十二，逢三進成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十。五歸添一倍，逢五進成十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十。九歸隨身下，逢九進成十。
斤下留法 一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留單五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。
明縱橫訣
一縱十橫，百立千僵。千十相望，萬百相當。滿六已上，五在上方。六不積聚，五不單張。言十自過，不滿自當。若明此訣，可習“九章”。
大數之類
一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恆河沙，萬萬恆河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他，萬萬那由他曰不可思議，萬萬不可思議曰無量數。
小數之類
一、分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙。萬萬塵曰沙，萬萬埃曰塵，萬萬渺曰埃，萬萬漠曰渺，萬萬模糊曰漠，萬萬逡巡曰模糊，萬萬須臾曰逡巡，萬萬瞬息曰須臾，萬萬彈指曰瞬息，萬萬剎那曰彈指，萬萬六德曰剎那，萬萬虛曰六德，萬萬空曰虛，萬萬清曰空，萬萬淨曰清。千萬淨，百萬淨，十萬淨，萬淨，千淨，百淨，十淨，一淨。
求諸率類
兩求銖二十四乘，銖求兩二十四除。斤求兩身外加六，兩求斤身外減六。秤求斤身外加五，斤求秤身外減五。據物賣錢而用乘，據錢買物而用除。
斛斗起率
量起於圭，十圭謂之一撮，十撮謂之一抄，十抄謂之一勺，十勺謂之一合，十合謂之一升，十升謂之一斗，十斗謂之一斛。
斤秤起率
衡起於黍。十黍謂之一絫，十絫謂之一銖，六銖謂之一分，四分謂之一兩，十六兩謂之一斤，十五斤謂之一秤，三十斤謂之一鈞，四鈞謂之一碩。
端匹起率
度起於忽。十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一厘，十厘謂之一分，十分謂之一寸，十寸謂之一尺，十尺謂之一丈。
匹率。端率。
田畝起率
田起於忽。十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一厘，十厘謂之一分，十分謂之一畝，百畝謂之一頃。三百步謂之一里。
古法圓率
周三尺，徑一尺。
劉徽新術
周一百五十七尺，徑五十尺。
沖之密率
周二十二尺，徑七尺。
明異名訣
二分之一為中半，三分之一為少半，三分之二為太半，四分之一為弱半，四分之三為強半。
明正負術
其同名相減，則異名相加；正無入負之，負無入正之。其異名相減，則同名相加；正無入正之，負無入負之。
明乘除段
長平相併曰和，長平相減曰較。長平相乘曰積，自相稱之曰冪。同名相乘曰正，異名相乘為負。平除長為小長，長除平為小平。小長平相併曰小和，小長平相減余小較，小長平相乘得一步為小積。
明開方法
置積為實，及方廉隅，同加異減開之。
縱橫因法
此法從來向上因，但言十者過其身，呼如本位須當作，知算縱橫數目真。
身外加法
算中加法最堪夸，言十之時就位加，但遇呼如身下列，君從法式定無差。
留頭乘法
留頭乘法別規模，起首先從次位呼，言十靠身如隔位，通臨頭位破身鋪。
身外減法
減法根源必要知，即同求—一般推，呼如身下須當減，言十從身本位除。
九歸除法門
實少法多從法歸，實多滿法進前居。常存除數專心記，法實相停九十餘。但遇無除還頭位，然將釋九數呼除。流傳故泄真訊息，求一穿韜總不如。
