人物經歷
羅士琳少年時，跟舅父江都秦恩復太史讀書。嘉慶六年（1801 年），秦延聘數學名家汪萊設館於家。羅士琳因受汪萊影響，乃盡棄舉子業，專力布算。後“循例貢”成為一名太學生，並考取天文生。因出自太傅阮元門下，相從最久，受其提攜，得與當時算學名家焦循、李銳等廣泛交往。加之他主觀努力，“博覽疇人之書，日夕研求”，終使他成為一代數學名家。鹹豐元年（1851 年），清廷征舉“孝廉”方正之士，郡縣一致推薦羅士琳，但他已年過六十，遂以“老病”予以推辭。又二年（1853 年），在揚州死於兵禍。
羅士琳初精西法，自撰言曆法者曰憲法一隅。又思句股、少廣相表里，而方田與商功無異，差分與均輸不殊。按類相從，摘九章中之切於日用者，悉以比例馭之，匯為十二種。以各定率冠首，以借根方繼後，以諸乘方開法附末，凡四卷，曰比例匯通，雖悔其少作，實便初學問途。
後見四元玉鑒，服膺嘆絕，遂壹意專精四元之術。士琳博文強識，兼綜百家，於古今算法尤具神解，以朱氏此書實集算學大成，思通行發明，乃殫精一紀，步為全草，並有原書於率不通及步算傳寫之譌，悉為標出，補漏正誤，反覆設例，申明疑義，推演訂證。就原書三卷二十有四門，廣為二十四卷，門各補草。
嘗為提要鉤元之論，謂：“是書通體弗出九章範圍，不獨商功修築、句股測望、方程正負已也。如端匹互隱、廩粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛疊藏，如像招數寓商功中之差分，直段求源、混積問元、明積演段、撥換截田、鎖套吞容寓方田、少廣諸法。他若分索隱之為約分命分，方員交錯、三率究員、箭積交參之為定率兼互動。至於或問歌彖、雜范類會，以其各自為法，不能比類。故一則寄諸歌詞，一則編成雜法，均似補遺。大旨皆以加、減、乘、除、開方、帶分六例為問，每門必備此例，略簡易而詳繁難，尤於自來算書所無者，必設二問以明之。如混積問元中既設種金田及句三股四八角田為問。撥換截田中復設半種金田，鎖套吞容中復設方五斜七八角田為問。又果垛疊藏兩設員錐垛，雜范類會既設徽率割員，又設密率割員是矣。更有一門專明一義者，如和分索隱之分開方，三率究員兩儀合轍之反覆互求是矣。是書但云如積求之，如積有用定率為同數相消者，有如問加減乘除得積為同數相消者。祖序謂：‘平水劉汝諧撰如積釋鎖，惜今不傳。’意者其釋此例歟？”
道光中，得朱氏算學啟蒙於京師廠肆，士琳復加斠詮刊布之。此書總二十門，凡二百五十九問，其名術義例多與玉鑒相表里。士琳為之互斠，始於天元，終於四元，義主精邃，所得甚深。考大德四年莫若序，計後此書四年。此書首列乘除布算諸例，始於超徑等接之術，終於天元如積開方，由淺近以至通變，循序漸進，其理易知。名曰啟蒙，實則為玉鑒立術之根，此一證也。玉鑒原本十行，行十九字，“今有”低一格，“術曰”又低二格，與此書同，此二證也。玉鑒斗斛之“斗”別作“?”，此假借字，本漢書平帝紀及管子乘馬篇，尚雜見於唐以前之孫子、五曹、張丘建諸算經，鈞石之“石”，說文本作“柘”，玉鑒作“碩”，“碩”“石”古雖互通，然假“碩”為“石”，則僅見於毛詩甫田疏引漢書食貨志，而算書罕見，又玉鑒?田之“?”，雖見李籍九章音義，為字書所無，此書並同，此三證也。玉鑒雖亦三卷，而門則為二十四，問則二百八十八，較多此書四門二十九問，然以四字分類，其體裁同。且如商功、修築、方程、正負之屬，則又二書互見，此四證也。玉鑒如意混和第一問，據數知一秤為十五斤，適與此書之斤秤起率合，此五證也。玉鑒鎖套吞容第九問，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十諸問，有小平小長，皆向無其術。此書卷首明乘除段，即載平除長為小長，長除平為小平之例。其田畝形段第十五問，復載方五斜七八角田求積通術，此六證也。他如玉鑒或問歌彖第四問，與此書盈不足術第七問，又玉鑒果垛疊藏第十四問，與此書堆積還原第十四問，又玉鑒方程正負第四問，與此書方程正負第五問，題皆約略相同，此七證也。知系朱氏原書佚而復出，並其算法一則，亦為附列，間有魚豕，悉仍其舊，但各標識於誤字旁，別記刊誤於卷末。
又嘗以乾隆間明氏捷法校得八線對數表，一度十三分二十秒正切第五字“0”誤“一”；又六度四十一分十秒正切第五字“0”誤“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”誤“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”誤“0”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”誤“四”。可見西人所能，中人亦能之。
又因會通四元玉鑒如像招數一門，更取明氏捷法，御以天元，知密率亦可招差，其弧與弦矢互求之法，與授時曆之垛積招差一一符合。且以祖氏綴術失傳，其法廑見於秦書，即大衍之連環求等遞減遞加，亦與明氏捷法相近。爰融會諸家法意，撰綴術輯補二卷。
又甄錄古今疇人，仍阮氏體例為列傳，采前傳所未收者，得補遺十二人，附見五人，續補二十人，附見七人，合共四十有四人，次於前傳四十六卷之後。
集所校著都為觀我生室匯十二種。如四元玉鑒細草二十四卷，釋例二卷，校正算學啟蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，續疇人傳六卷，皆別有單行本。
外已刻者尚得七種，曰句股容三事拾遺三卷，附例一卷，本繪亭監副博啟法補其遺，取內容方邊員徑垂線互動相求，一以天元馭之。曰三角和較算例一卷，取斜平三角形中兩邊夾一角術鎔入天元法，用和較推演成式。曰演元九式一卷，括玉鑒中進退消長諸例，借無數之數，以正負開方式入之。曰台錐積演一卷，以玉鑒茭草、果垛二門可補少廣之闕，爰取台錐形段引而伸之。曰周無專鼎銘考一卷，以四分周術佐以三統漢術，推得宣王十有六年九月既望甲戌，與銘辭正合。曰弧矢算術補一卷，以元和李四香原術未備，為增補二十七術，合成四十術。曰推算日食增廣新術一卷，推廣正升斜升橫升之算法，以求太陰隨地隨時之明魄方向分秒，復推其術，以求交食限內之方向，及所經歷之諸邊分。
餘若春秋朔閏異同考、綴術輯補交食圖說舉隅、句股截積和較算例、淮南天文訓存疑、博能叢話，凡若干卷，未有刻本。其同縣友有易之瀚者，亦以算名。
撰《憲法一隅》，闡明歷學。復撰《比例匯通》四卷，後雖悔其少作，實便初學問途也。既獲暑元朱氏《四元玉鑒》，於是眼膺嘆絕，遂一意專精於天元四元之術。以朱氏此書，實集算學之大成，乃殫力一紀，步為全草，並有原書於率不通及列算傳寫之訛，悉加標識，補漏正舛，疑義更反覆設例以明之，推演訂證，廣為二十四卷。阮文達為之作序。
個人作品
羅士琳先後撰成《此例匯通》4 卷（1818 年），《勾股容三事拾遺》3 卷、《附例》1 卷（1826 年），《演元九式》1 卷（1827 年），《四元玉鑒細草》24 卷（1834 年），《台錐演積》1 卷（1837 年）、《三角和較算例》1 卷（1840 年）、《疇人傳》續編6 卷（1840 年）、《弧矢算術補》1 卷、校正《算學啟蒙》3 卷（1843 年），以及《天元釋例》1 卷、《四元釋例》1 卷、《勾股和較截積算術》2 卷、《綴術輯補》2 卷等。晚清張之洞在所編《清朝著述家姓名略》“算學家”條下傳：“五十年來，為此學者甚多。此舉其著述最顯著者，梅文鼎、羅（士琳）、李（善蘭）為最。”羅士琳是清代數學著述最為豐富的數學家之一。
個人成就
他的最重要的數學成就，是對傳統中算“四元術”的闡發；其最有價值的著作，是《四元玉鑒細草》。 《四元玉鑒》（1303 年）是元代大數學家朱世傑的著作，其所論“四元術”，代表了宋元數學的最高水平。然而從元末以後，由於戰爭和其他原因，致使該書失傳了四、五百年。地到19 世紀初葉，阮元才從民間訪得，但因該書簡奧，時已無人讀懂。阮元本擬請李銳補作細草，以彰其意。但因李病卒（1817 年），未果。道光二年（1822 年）阮元在京師遇羅士琳，遂將此項任務交羅完成。羅參照當時所能找到的兩種抄本和新刻元大德本，嘔心竭力12 年，在研讀和校勘的基礎上補出了全書各題算式演草，使原來的3 卷增至24 卷，書名《四元玉鑒細草》，於道光十四年出版。其後，朱世傑另一部著作——《算學啟蒙》的朝鮮刻本，又被羅士琳在北京覓得，他同樣加以校注後使之出版。 由於羅士琳的上述工作，特別是《四元玉鑒細草》的出版和傳播，“四元術”重新被人們認識和理解，使我國傳統數學在中落數百年之後，得以恢復到它的最高水平，實為中國數學史上一大幸事。朱世傑功當不朽，羅士琳功亦不朽。 阮元《疇人傳》（1799 年），為我國數學、天文學家立傳，是一項開創性工作。然至道光中期，40 年間疇人輩出，前代大算書也不斷發現。為反映這段歷史， 羅士琳續寫《疇人傳》6 卷，增列44 人。他“敘述當時學者的生平事跡和學術成就比較翔實，傳後的評論也較前準確公允，具有時代精神。”羅士琳其它數學成就還很多。例如，他利用“明氏捷法”，校正了西洋傳教士帶來的“八線對數表”（即三角函式對數表），糾正了5 處錯誤。（當時完全靠手工計算，談何容易！）他對於勾、股數的和等各種關係的研究，也有一定提高。他在晚年，將一生所著書刊刻成《觀我生室匯稿》。
