定理內容與性質
歐拉圓又稱九點圓。三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓。通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle]，又稱歐拉圓或費爾巴哈圓.。
九點圓具有許多有趣的性質，例如：
1. 三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；
2. 九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；
3. 三角形的九點圓與三角形的內切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；
4. 九點圓是一個垂心組（即一個三角形三個頂點和它的垂心，共四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，共4個三角形）共有的九點圓，所以九點圓共與四個內切圓、十二個旁切圓相切。
5. 九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心一樣麻煩。
設d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘，並令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
那么重心坐標為：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。
證明
如右圖所示，△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L。證法為以垂心H為位似中心，1/2為位似比作位似變換。連結HL並延長至L'，使LL'=HL；做H關於BC的對稱點D'。
顯然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，從而A，B，D'，C四點共圓。
又因為BC和HL'互相平分於L，所以四邊形BL'CH為平行四邊形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，從而A，B，L'，C四點共圓。綜上，A，B，C，D'，L'五點共圓。顯然，對於另外兩邊AB，AC邊上的F，N，E，M也有同樣的結論成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九點共圓。此圓即△ABC的外接圓⊙O。
接下來做位似變換，做法是所有的點（⊙O上的九個點和點O本身）都以H為位似中心進行位似比為1/2的位似變換。那么，L'變到了L（因為HL'=2HL），D'變到了D（因為D'是H關於BC的對稱點），B變到了Q，C變到了R（即垂心與頂點連線的中點）。其它各點也類似變換。O點變成了OH中點V。
位似變換將圓仍映射為圓（容易用向量證明），因此原來在⊙O上的九個點變成了在⊙V上的九個點，且⊙V的半徑是⊙O的一半。
這就證明了三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點都在一個圓上。
第二種簡單的證法
作圖如下：△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L，AC邊垂足為E，AC邊中點為M,
AB邊垂足為F，AB邊中點為N,
垂心為H，AH,BH,CH中點分別為P,Q,R
（思路：以PL為直徑，其它任意某點，去證P某L為90°）
證明：（由中位線）PM平行CH，LM平行AB，又CH垂直AB∴PM垂直LM，又PD垂直LD，∴PMDL共圓。
（由中位線）PR平行AC，LR平行BH，BH垂直AC，所以PR垂直LR∴PMRDL五點共圓。
（由圓的的直徑所對應的圓周角為直角）連線PL，則PL即為直徑。所以∠PML=∠PEL=90°，所以∴PEMRDL六點點共圓，同理可證PFNQL五點共圓,PL為直徑，
所以PEMRDLQNF九點共圓，PL為直徑，PL中點(設為V)就是圓心
下證 九點圓的圓心在垂心與外心連線的中點
O為外心，OL平行等於AH一半（這個小定理我就不證明了）所以OL平行等於PH
OLPH為平行四邊形，V是PL中點，就是OH中點
