歐幾里得整環

v(b)。 ，v(x) 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。

定義

一個歐幾里得整環是一整環 D 及函式 ，使之滿足下述性質：
若 而 ，則存在 使得 a = bq + r，而且或者 r = 0，或者 v(r) < v(b)。 若 a 整除 b，則 。 函式 v 可構想成元素大小的量度，當 時可取 v(x): = | x | 。

例子

歐幾理得整環的例子包括了：
整數環 ，v(x) = | x | 。 高斯整數環 。 域上的多項式環（v(f) = degf）與冪級數環（v(f) 定義為使 X | f(X) 的最大非負整數 n）。 離散賦值環，v(x) 定義為使 的最大非負整數 n，其中 表該離散賦值環的唯一極大理想。 利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想環，此時理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一分解環。
並非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 的整數環在 d = &#8722; 19, &#8722; 43, &#8722; 67, &#8722; 163 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。